8人を指定された人数構成のグループに分ける場合の数を求める問題です。 (1) A, B, C, Dの4つの組に、2人ずつ分ける。 (2) 2人ずつの4つの組に分ける。 (3) 3人、3人、2人の3つの組に分ける。

1. 問題の内容

8人を指定された人数構成のグループに分ける場合の数を求める問題です。

(1) A, B, C, Dの4つの組に、2人ずつ分ける。

(2) 2人ずつの4つの組に分ける。

(3) 3人、3人、2人の3つの組に分ける。

2. 解き方の手順

(1)

8人から2人を選びAの組にする場合の数は $_8C_2$通り。

残りの6人から2人を選びBの組にする場合の数は $_6C_2$通り。

残りの4人から2人を選びCの組にする場合の数は $_4C_2$通り。

残りの2人から2人を選びDの組にする場合の数は $_2C_2$通り。

よって、

$_8C_2 \times _6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2 = \frac{8!}{2!6!} \times \frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = \frac{8!}{(2!)^4} = \frac{40320}{16} = 2520$通り。

(2)

(1)と同様に考える。

$_8C_2 \times _6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2 = 2520$通り。

ただし、組に区別がないので、4つの組の並べ方である4!で割る必要がある。

$\frac{2520}{4!} = \frac{2520}{24} = 105$通り。

(3)

8人から3人を選び、最初の組にする場合の数は $_8C_3$通り。

残りの5人から3人を選び、次の組にする場合の数は $_5C_3$通り。

残りの2人から2人を選び、最後の組にする場合の数は $_2C_2$通り。

3人の組が2つあるので、2!で割る必要がある。

よって、

$\frac{_8C_3 \times _5C_3 \times _2C_2}{2!} = \frac{\frac{8!}{3!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!}}{2!} = \frac{\frac{8!}{3!3!2!}}{2!} = \frac{560}{2} = 280$通り。

3. 最終的な答え

(1) 2520通り

(2) 105通り

(3) 280通り