12人を指定された人数構成のグループに分ける場合の数を求める問題です。 (1) A, B, C の3つの組に、4人ずつ分ける。 (2) 4人ずつの3つのグループに分ける。 (3) 5人、4人、3人の3つのグループに分ける。 (4) 6人、3人、3人の3つのグループに分ける。

1. 問題の内容

12人を指定された人数構成のグループに分ける場合の数を求める問題です。

(1) A, B, C の3つの組に、4人ずつ分ける。

(2) 4人ずつの3つのグループに分ける。

(3) 5人、4人、3人の3つのグループに分ける。

(4) 6人、3人、3人の3つのグループに分ける。

2. 解き方の手順

(1) A, B, C の3つの組に、4人ずつ分ける。

まず、12人からAの組に入れる4人を選ぶ。

次に、残りの8人からBの組に入れる4人を選ぶ。

最後に、残りの4人はCの組に入れる。

よって、分け方は

$_{12}C_4 \times {}_8C_4 \times {}_4C_4$

$= \frac{12!}{4!8!} \times \frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{4!0!} = \frac{12!}{4!4!4!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 34650$通り。

(2) 4人ずつの3つのグループに分ける。

まず、12人から4人を選ぶ。次に、残りの8人から4人を選ぶ。最後に、残りの4人を選ぶ。この分け方では、3つのグループに区別がないため、3!で割る必要がある。

よって、分け方は

$\frac{{}_{12}C_4 \times {}_8C_4 \times {}_4C_4}{3!} = \frac{34650}{6} = 5775$通り。

(3) 5人、4人、3人の3つのグループに分ける。

まず、12人から5人を選ぶ。次に、残りの7人から4人を選ぶ。最後に、残りの3人を選ぶ。

よって、分け方は

$_{12}C_5 \times {}_7C_4 \times {}_3C_3 = \frac{12!}{5!7!} \times \frac{7!}{4!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{12!}{5!4!3!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1} = 27720$通り。

(4) 6人、3人、3人の3つのグループに分ける。

まず、12人から6人を選ぶ。次に、残りの6人から3人を選ぶ。最後に、残りの3人を選ぶ。

この分け方では、3人のグループに区別がないため、2!で割る必要がある。

よって、分け方は

$\frac{{}_{12}C_6 \times {}_6C_3 \times {}_3C_3}{2!} = \frac{\frac{12!}{6!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!}}{2!} = \frac{\frac{12!}{6!3!3!}}{2!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2} = \frac{924 \times 20}{2} = \frac{18480}{2} = 9240$通り。

3. 最終的な答え

(1) 34650通り

(2) 5775通り

(3) 27720通り

(4) 9240通り