男子5人（A, B, C, D, E）と女子3人（F, G, H）の計8人が1列に並ぶとき、以下の問いに答える。 (1) AとBが隣り合うような並び方は何通りあるか。 (2) AとBの間にちょうど2人が並ぶような並び方は何通りあるか。 (3) 女子同士が隣り合わないような並び方は何通りあるか。

1. 問題の内容

男子5人（A, B, C, D, E）と女子3人（F, G, H）の計8人が1列に並ぶとき、以下の問いに答える。

(1) AとBが隣り合うような並び方は何通りあるか。

(2) AとBの間にちょうど2人が並ぶような並び方は何通りあるか。

(3) 女子同士が隣り合わないような並び方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) AとBを1つの組として考え、その組と残り6人を並べる。組の中でのA, Bの並び順を考慮する。

AとBを1つの組とすると、並べるものは7個となる。

これらの並べ方は $7!$ 通り。

AとBの組の中でA, Bの並び方は2通り（AB, BA）。

したがって、AとBが隣り合う並び方は $7! \times 2$ 通り。

(2) AとBの間に2人が並ぶ場合、AとBの組と間の2人の並び方を考える。

AとBの間に並ぶ2人の選び方は $6 \times 5$ 通り。選んだ2人をAとBの間に並べる順番は1通り。

A□□BまたはB□□Aの並び方があるので、2通り。

A□□B(またはB□□A)を1つの組と考えると、この組と残り4人の並び方を考える。

並べるものは5個なので、並び方は $5!$ 通り。

AとBの間に並ぶ2人の選び方は $P(6,2) = 6 \times 5 = 30$通り。

A□□BまたはB□□Aの並び方があるので2通り。

したがって、AとBの間にちょうど2人が並ぶ並び方は $5! \times 30 \times 2$ 通り。

(3) まず男子5人を並べ、その間と両端に女子3人を並べる。

男子5人の並べ方は $5!$ 通り。

男子の間と両端の6箇所から3箇所を選んで女子を並べる方法は $P(6,3)$ 通り。

女子3人の並び方は $3!$ 通り。

したがって、女子同士が隣り合わない並び方は $5! \times P(6,3)$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) $7! \times 2 = 5040 \times 2 = 10080$ 通り

(2) $5! \times 30 \times 2 = 120 \times 30 \times 2 = 7200$ 通り

(3) $5! \times P(6,3) = 120 \times (6 \times 5 \times 4) = 120 \times 120 = 14400$ 通り

(1) 10080通り

(2) 7200通り

(3) 14400通り