全体集合$U$を15以下の自然数全体の集合とし、部分集合$A = \{1, 2, 4, 7, 8, 9, 12, 15\}$、$B = \{1, 3, 5, 6, 8, 14\}$について、$n(A \cap \overline{B})$を求めよ。ここで$n(X)$は集合$X$の要素の個数を表し、$\overline{B}$は$B$の補集合を表す。

1. 問題の内容

全体集合$U$を15以下の自然数全体の集合とし、部分集合$A = \{1, 2, 4, 7, 8, 9, 12, 15\}$、$B = \{1, 3, 5, 6, 8, 14\}$について、$n(A \cap \overline{B})$を求めよ。ここで$n(X)$は集合$X$の要素の個数を表し、$\overline{B}$は$B$の補集合を表す。

2. 解き方の手順

まず、$A \cap \overline{B}$の意味を考える。これは集合$A$に属し、かつ集合$B$に属さない要素全体の集合である。つまり、$A$から$A$と$B$の両方に属する要素を取り除いたものである。

$A = \{1, 2, 4, 7, 8, 9, 12, 15\}$

$B = \{1, 3, 5, 6, 8, 14\}$

$A \cap B = \{1, 8\}$

$A \cap \overline{B} = A - (A \cap B) = \{1, 2, 4, 7, 8, 9, 12, 15\} - \{1, 8\} = \{2, 4, 7, 9, 12, 15\}$

したがって、$n(A \cap \overline{B})$は集合$\{2, 4, 7, 9, 12, 15\}$の要素の個数である。

3. 最終的な答え

$n(A \cap \overline{B}) = 6$