SHIKENの6文字をすべて使ってできる順列を、辞書式順序で並べたとき、 (1) 140番目の文字列を求めよ。 (2) SHIKENは何番目の文字列か。

1. 問題の内容

SHIKENの6文字をすべて使ってできる順列を、辞書式順序で並べたとき、

(1) 140番目の文字列を求めよ。

(2) SHIKENは何番目の文字列か。

2. 解き方の手順

(1) 140番目の文字列を求める。

SHIKENの文字を辞書式順に並べると、E, H, I, K, N, S となる。

1文字目がEであるものは、$5! = 120$ 個。

1文字目がHであるものは、$5! = 120$ 個。

よって1文字目がHまでの文字列は$120+120=240$個なので、140番目の文字列の1文字目はEである。

1文字目がEで、2文字目がHであるものは、$4! = 24$ 個。

よって、1文字目がEで、2文字目がHまでの文字列は $120 + 24 = 144$ 個。

140番目はEで始まるので、

2文字目がHまでの文字列は24個なので、

140番目の2文字目は、Hではない。

1文字目がEで、2文字目がIであるものは、$4! = 24$ 個。

ここまでで、$120 + 24 = 144 > 140$ なので、2文字目はIである。

$140-120 = 20$番目の文字列を求める。

1文字目がE, 2文字目がIで、3文字目がHであるものは、$3! = 6$ 個。

1文字目がE, 2文字目がIで、3文字目がKであるものは、$3! = 6$ 個。

1文字目がE, 2文字目がIで、3文字目がNであるものは、$3! = 6$ 個。

ここまでで、$120 + 6 + 6 + 6 = 138 < 140$

よって、3文字目はN。

$140-120-6-6-6 = 2$番目の文字列を求める。

1文字目がE, 2文字目がI, 3文字目がNで、4文字目がHであるものは、$2! = 2$ 個。

よって、4文字目はH。

残りの文字はK, Sなので、辞書式順に並べるとK, S。

したがって、140番目の文字列はEINHKSである。

(2) SHIKENは何番目の文字列か。

1文字目がEであるものは、$5! = 120$ 個。

1文字目がHであるものは、$5! = 120$ 個。

1文字目がIであるものは、$5! = 120$ 個。

ここまでで$120 \times 3 = 360$個。

SHIKENの1文字目はSなので、$360$より大きい。

2文字目がHであるものは、$4! = 24$ 個。

2文字目がIであるものは、$4! = 24$ 個。

2文字目がKであるものは、$4! = 24$ 個。

2文字目がEであるものは、$4! = 24$ 個。

SHIKENの2文字目はHなので、2番目に小さい。

$S$の次に来るのは$E,H,I,K,N$なので、

SHIKENの3文字目はIなので、E,K,Nは小さい。

1文字目がS, 2文字目がEであるものは、$4! = 24$ 個。

1文字目がS, 2文字目がHであるものは、$4! = 24$ 個。

$360+24+24=408<SHIKEN$

SHIKENの4文字目はKなので、

3文字目はIなので、$2! = 2$ 個

E, H, KがSHIKENより小さいので、$3! = 6$

$408+2=410$

1文字目がS, 2文字目がH, 3文字目がEであるものは、$3! = 6$ 個。

1文字目がS, 2文字目がH, 3文字目がIであるものは、$3! = 6$ 個。

SHIKENの4文字目はKなので、$408+24*2+6=462$個。

SHIKENの4文字目はK。

S,H,I の後では、E,K,Nが残る。

SHIKEN

1文字目がS, 2文字目がH, 3文字目がI, 4文字目がEであるものは、$2! = 2$ 個。

5文字目はE,K,Nなので、SHIKENの5文字目はEである。

SHIKEN

1文字目がS, 2文字目がH, 3文字目がI, 4文字目がK, 5文字目がEであるものは、$1! = 1$ 個。

$120+24*4+3! = 120 + 96 +6 = 222$.

$SHIKEN = 120 + 24\times4 + 6+ 1+1=223$

SHIKENは360 + (E H I K N の辞書順) = 360 + 3*24 + 1 = 432

SHIKEN $= 120 +$

3. 最終的な答え

(1) EINHKS

(2) 223 番目