2人の先生と6人の生徒が手をつないで輪を作ります。 (1) すべての並び方は何通りあるか。 (2) 先生どうしが隣り合う並び方は何通りあるか。 (3) 先生どうしが向かい合う並び方は何通りあるか。

1. 問題の内容

2人の先生と6人の生徒が手をつないで輪を作ります。

(1) すべての並び方は何通りあるか。

(2) 先生どうしが隣り合う並び方は何通りあるか。

(3) 先生どうしが向かい合う並び方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 全体の並び方

8人が円形に並ぶので、円順列の公式を使います。円順列の公式は $(n-1)!$ です。

この場合、$n=8$ なので、並び方は $(8-1)! = 7!$ となります。

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$ 通り

(2) 先生どうしが隣り合う並び方

まず、2人の先生を1つのグループとして考えます。すると、先生のグループと6人の生徒、合計7つの要素が円形に並ぶことになります。

並び方は $(7-1)! = 6!$ 通りです。

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ 通り

さらに、隣り合う先生の並び方は2通りあります。

したがって、先生どうしが隣り合う並び方は $720 \times 2 = 1440$ 通りです。

(3) 先生どうしが向かい合う並び方

まず、1人の先生の位置を固定します。もう1人の先生は、固定された先生の向かい側に座るしかありません。

残りの6人の生徒は、残りの6つの席に自由に座ることができます。

生徒の並び方は $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) すべての並び方は 5040 通り

(2) 先生どうしが隣り合う並び方は 1440 通り

(3) 先生どうしが向かい合う並び方は 720 通り