問題1：りんご、みかん、かき、バナナの4種類の果物を合わせて8個選ぶ選び方は何通りあるか。ただし、選ばない果物があってもよいものとする。 問題2：方程式 $x + y + z = 7$ を満たす0以上の整数 $x, y, z$ の組は何通りあるか。

1. 問題の内容

問題1：りんご、みかん、かき、バナナの4種類の果物を合わせて8個選ぶ選び方は何通りあるか。ただし、選ばない果物があってもよいものとする。

問題2：方程式 $x + y + z = 7$ を満たす0以上の整数 $x, y, z$ の組は何通りあるか。

2. 解き方の手順

問題1：

これは重複組合せの問題です。4種類の果物から重複を許して8個選ぶ選び方の総数を求めます。

重複組合せの公式は、n種類のものからr個選ぶとき、${}_{n+r-1}C_r$ で表されます。

この問題では、n = 4（果物の種類数）、r = 8（選ぶ個数）なので、

${}_{4+8-1}C_8 = {}_{11}C_8$ を計算します。

${}_{11}C_8 = \frac{11!}{8!3!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 5 \times 3 = 165$

問題2：

これも重複組合せの問題です。3つの変数 $x, y, z$ の和が7になるような0以上の整数の組の個数を求めます。

この問題は、7個の区別できない玉を3つの区別できる箱に入れる方法の数と考えることができます。

重複組合せの公式を使うと、n = 3（変数の数）、r = 7（和）なので、

${}_{3+7-1}C_7 = {}_{9}C_7$ を計算します。

${}_{9}C_7 = \frac{9!}{7!2!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 9 \times 4 = 36$

3. 最終的な答え

問題1：165通り

問題2：36通り