(1) 6人を3つの部屋A, B, Cに、各部屋2人ずつ入れる方法は何通りあるか。 (2) 正七角形について、 (ア) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数を求めよ。 (イ) 対角線の本数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 6人を3つの部屋A, B, Cに、各部屋2人ずつ入れる方法は何通りあるか。

(2) 正七角形について、

(ア) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数を求めよ。

(イ) 対角線の本数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、6人から部屋Aに入れる2人を選ぶ組み合わせは $_6C_2$通り。

次に、残りの4人から部屋Bに入れる2人を選ぶ組み合わせは $_4C_2$通り。

最後に、残りの2人は自動的に部屋Cに入るので、組み合わせは $_2C_2 = 1$通り。

したがって、部屋への分け方の総数は $_6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2$通りとなる。

ただし、部屋A, B, Cには区別がないので、上記で求めた分け方を3!で割る必要がある。

$\frac{_6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2}{3!} = \frac{\frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 1}{3 \times 2 \times 1} = \frac{15 \times 6 \times 1}{6} = 15$

(2) (ア)

正七角形の7個の頂点から4個の頂点を選ぶ組み合わせが、四角形の個数になる。

したがって、$_7C_4 = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$

(2) (イ)

正n角形の対角線の本数は $\frac{n(n-3)}{2}$ で求められる。

したがって、正七角形の対角線の本数は $\frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = 14$

3. 最終的な答え

(1) 15通り

(2) (ア) 35個

(イ) 14本