命題論理における分配律 $p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r)$ を真理値表を用いて示す問題です。

1. 問題の内容

命題論理における分配律 $p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r)$ を真理値表を用いて示す問題です。

2. 解き方の手順

真理値表を作成し、左辺 $p \lor (q \land r)$ と右辺 $(p \lor q) \land (p \lor r)$ の真理値がすべての真理値の組み合わせにおいて一致することを示します。

まず、$p$, $q$, $r$ のすべての真理値の組み合わせを列挙します。それぞれの変数は真 (T) または偽 (F) のいずれかの値をとるので、$2^3 = 8$ 通りの組み合わせがあります。

次に、$q \land r$, $p \lor (q \land r)$, $p \lor q$, $p \lor r$, $(p \lor q) \land (p \lor r)$ の真理値を計算し、真理値表を完成させます。

| p | q | r | q ∧ r | p ∨ (q ∧ r) | p ∨ q | p ∨ r | (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) |

|---|---|---|-------|-------------|-------|-------|-------------|

| T | T | T | T | T | T | T | T |

| T | T | F | F | T | T | T | T |

| T | F | T | F | T | T | T | T |

| T | F | F | F | T | T | T | T |

| F | T | T | T | T | T | T | T |

| F | T | F | F | F | T | F | F |

| F | F | T | F | F | F | T | F |

| F | F | F | F | F | F | F | F |

3. 最終的な答え

上記の真理値表から、$p \lor (q \land r)$ と $(p \lor q) \land (p \lor r)$ の真理値はすべての行で一致するため、$p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r)$ が成り立つことが真理値表を用いて示されました。