はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

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1. 問題の内容**

画像には複数の問題がありますが、ここでは5番の問題を解きます。

5. 図のような路を通ってA地点からB地点まで行く。

(1) 距離が最短となる経路は何通りあるか。

(2) 対角線の路 $p$ が通れない場合、距離が最短となる経路は何通りあるか。

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2. 解き方の手順**

(1) 距離が最短となる経路について

A地点からB地点まで最短距離で行くためには、右方向への移動と上方向への移動のみを繰り返す必要があります。

右方向への移動は5回、上方向への移動は3回必要です。

したがって、最短経路の総数は、8回の移動のうち、右方向への移動5回を選ぶ組み合わせの数に等しくなります。

これは、組み合わせの記号を用いて ${}_8 \mathrm{C}_5$ と表されます。

${}_8 \mathrm{C}_5$ を計算します。

$$$$

{}_8 \mathrm{C}_5 = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56

$$$$

(2) 対角線の路 $p$ が通れない場合について

まず、路 $p$ を通る最短経路の数を求めます。

A地点から路 $p$ の始点まで最短で行く経路は1通りです。

路 $p$ の終点からB地点まで最短で行く経路は1通りです。

したがって、路 $p$ を通る最短経路の数は $1 \times 1 = 1$ 通りです。

しかし、路 $p$ を通る経路は、AからBへの最短経路の一部です。

AからBへの最短経路のうち、路 $p$ を通る経路の数を直接計算するのは難しいので、全体から路 $p$ を通る経路の数を引くことを考えます。

(1)で求めたように、AからBへの最短経路の総数は56通りです。

AからBへの経路のうち、路 $p$ を通る経路の数を求めましょう。

Aからpの始点までの経路は1通りです。pの終点からBまでの経路は $\frac{3!}{2!1!} = 3$ 通りです。

したがって、pを通る経路の数は1*3=3通りです。

求める経路数は、AからBへの最短経路の総数から、路 $p$ を通る経路の数を引いたものです。

したがって、$56 - 3 = 53$ となります。

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3. 最終的な答え**

(1) 距離が最短となる経路は 56 通り。

(2) 対角線の路 $p$ が通れない場合、距離が最短となる経路は 53 通り。