与えられた4つの命題の真偽を判定する問題です。 (1) $\forall x (x=x)$ (2) $\exists x (x=1)$ (3) $\forall x (x \in N \rightarrow x \in Z)$ (4) $\exists x (x \in N \land x^2 = 101)$ ここで、$N$は自然数全体の集合、$Z$は整数全体の集合を表します。

1. 問題の内容

与えられた4つの命題の真偽を判定する問題です。

(1) $\forall x (x=x)$

(2) $\exists x (x=1)$

(3) $\forall x (x \in N \rightarrow x \in Z)$

(4) $\exists x (x \in N \land x^2 = 101)$

ここで、$N$は自然数全体の集合、$Z$は整数全体の集合を表します。

2. 解き方の手順

(1) $\forall x (x=x)$: 任意の$x$に対して、$x=x$が成り立つかどうかを判定します。これは常に真です。

(2) $\exists x (x=1)$: $x=1$となる$x$が存在するかどうかを判定します。$x=1$は存在するので、真です。

(3) $\forall x (x \in N \rightarrow x \in Z)$: 任意の$x$について、$x$が自然数ならば、$x$は整数であるかどうかを判定します。自然数はすべて整数なので、これは真です。

(4) $\exists x (x \in N \land x^2 = 101)$: $x$が自然数であり、$x^2 = 101$となる$x$が存在するかどうかを判定します。$x^2 = 101$を満たす$x$は$x = \sqrt{101}$ですが、これは自然数ではありません。なぜなら、$10^2 = 100 < 101 < 121 = 11^2$であることから、$10 < \sqrt{101} < 11$なので$\sqrt{101}$は整数ではないからです。したがって、これは偽です。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 真

(3) 真

(4) 偽