東西に5本、南北に6本の格子状の道がある。AからBへ最短距離で行く道順について、以下の問いに答える。 (1) どのような道順でもよい場合、何通りの道順があるか。 (2) Cを通る場合、何通りの道順があるか。

1. 問題の内容

東西に5本、南北に6本の格子状の道がある。AからBへ最短距離で行く道順について、以下の問いに答える。

(1) どのような道順でもよい場合、何通りの道順があるか。

(2) Cを通る場合、何通りの道順があるか。

2. 解き方の手順

(1) AからBへ最短距離で行くには、東へ4回、北へ5回移動する必要がある。

したがって、合計9回の移動のうち、東へ4回移動する場所を選ぶ組み合わせの数を求めればよい。

これは組み合わせの記号を用いて ${}_9 C_4$ と表される。

${}_9 C_4$ は以下の式で計算できる。

${}_9 C_4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

(2) AからCへ行くには、東へ2回、北へ2回移動する必要がある。その道順は${}_4 C_2$ 通り。

CからBへ行くには、東へ2回、北へ3回移動する必要がある。その道順は${}_5 C_2$ 通り。

よって、Cを通る道順は、AからCへの道順とCからBへの道順の積で求められる。

まず、AからCへの道順を計算する。

${}_4 C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

次に、CからBへの道順を計算する。

${}_5 C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、Cを通る道順は、

$6 \times 10 = 60$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 126通り

(2) 60通り