問題は、与えられた命題 $\neg(\forall x \exists y (\neg P(x,y)))$ と同値な命題を選ぶ問題です。選択肢は以下の通りです。 1. $\exists x \forall y (\neg P(x,y))$

1. 問題の内容

問題は、与えられた命題 $\neg(\forall x \exists y (\neg P(x,y)))$ と同値な命題を選ぶ問題です。選択肢は以下の通りです。

1. $\exists x \forall y (\neg P(x,y))$

2. $\exists x \forall y P(x, y)$

3. $\forall x \forall y (\neg P(x,y))$

4. $\forall x \exists y P(x, y)$

2. 解き方の手順

与えられた命題 $\neg(\forall x \exists y (\neg P(x,y)))$ を変形して同値な命題を求めます。

まず、$\neg(\forall x A)$ は $\exists x (\neg A)$ と同値であることから、

$\neg(\forall x \exists y (\neg P(x,y))) \equiv \exists x (\neg(\exists y (\neg P(x,y))))$ となります。

次に、$\neg(\exists y B)$ は $\forall y (\neg B)$ と同値であることから、

$\exists x (\neg(\exists y (\neg P(x,y)))) \equiv \exists x (\forall y (\neg(\neg P(x,y))))$ となります。

最後に、$\neg(\neg P(x,y))$ は $P(x,y)$ と同値であることから、

$\exists x (\forall y (\neg(\neg P(x,y)))) \equiv \exists x \forall y P(x,y)$ となります。

したがって、$\neg(\forall x \exists y (\neg P(x,y))) \equiv \exists x \forall y P(x,y)$ です。

3. 最終的な答え

$\exists x \forall y P(x, y)$