## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題2は、6個の数字1, 2, 3, 4, 5, 6を重複なく使ってできる5桁の整数を小さい方から順に並べたとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 初めて30000以上になる数を求め、それが何番目の数であるかを答える。

(2) 300番目の数を答える。

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2. 解き方の手順

**(1) 初めて30000以上になる数を求め、それが何番目か**

30000以上の数で最も小さいのは3xxxxの形です。ここでxには1,2,4,5,6のいずれかが入ります。

まず、1xxxxと2xxxxの形の数が何個あるかを考えます。

1xxxxの形の場合、残りの4つの桁には2,3,4,5,6の5つの数字から4つを選んで並べる順列となるので、$P(5, 4) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$個です。

2xxxxの形も同様に、$P(5, 4) = 120$個です。

よって、1xxxxと2xxxxの形を合わせると$120 + 120 = 240$個あります。

次に、3xxxxの形の数を考えます。30000以上の数で最も小さいのは31245です。

したがって、初めて30000以上になる数は31245です。

31245が何番目かですが、1xxxxの形が120個、2xxxxの形が120個あるので、31245は$240 + 1 = 241$番目です。

**(2) 300番目の数を求める**

1xxxxと2xxxxの形を合わせると240個なので、300番目の数は3xxxxの形をしていることがわかります。

3xxxxの形は全部で$P(5, 4) = 120$個あります。

300番目の数は、3xxxxの形の中で、$300 - 240 = 60$番目の数です。

3xxxxの形で、最初に小さい順に並べたとき、31xxxの形が何個あるか考えます。

31xxxの形は$P(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$個です。

次に、32xxxの形は同様に24個です。31xxxと32xxxを合わせると48個です。

$60-48=12$なので、33xxxはあり得ません。

次に、34xxxの形は同様に24個です。48個に加えて24個増えると$48+24=72$個なので60を超えてしまいます。

したがって34xxxの形の数のうち12番目のものが求める数です。

341xxの形は、$P(3, 2) = 3 \times 2 = 6$個です。

342xxの形は、$P(3, 2) = 6$個です。

$6+6=12$なので342xxの形で最大のものが求める数です。

342xxの形で最大のものは34265です。

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3. 最終的な答え

(1) 初めて30000以上になる数は31245で、241番目です。

(2) 300番目の数は34265です。