問題2は、6つの数字1, 2, 3, 4, 5, 6を重複なく使ってできる5桁の数を小さい方から順に並べたとき、 (1) 初めて30000以上になる数を求め、それが何番目か答える。 (2) 300番目の数を求める。

1. 問題の内容

問題2は、6つの数字1, 2, 3, 4, 5, 6を重複なく使ってできる5桁の数を小さい方から順に並べたとき、

(1) 初めて30000以上になる数を求め、それが何番目か答える。

(2) 300番目の数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、10000台、20000台の数が何個あるか考える。

10000台の数は、残りの4桁に2, 3, 4, 5, 6の数字を並べるので、 $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ 個。

20000台の数も同様に、$5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ 個。

したがって、30000以上の数は、全部で $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720$ 個の数の中で、120 + 120 = 240個目までが10000台と20000台の数なので、初めて30000を超える数は、241番目になる。

初めて30000以上になる数は31245。

30000台の数で一番小さいものは31245である。

(2)

10000台と20000台の数はそれぞれ120個ずつなので、合計240個。

300番目の数は30000台の数となる。

300番目の数は300 - 240 = 60番目の30000台の数である。

30000台の数を小さい方から並べたとき、

31000台の数は $4 \times 3 \times 2 = 24$ 個

32000台の数も $4 \times 3 \times 2 = 24$ 個

ここまでで、$24 + 24 = 48$ 個

34000台の数は $4 \times 3 \times 2 = 24$ 個

しかし、$48 + 24 = 72$ となり、60を超えてしまう。

よって、34000台の数の中で探すことになる。

$60 - 48 = 12$ より、34000台の数のうち、12番目の数である。

34100台の数は、$3 \times 2 = 6$ 個

34200台の数も、$3 \times 2 = 6$ 個

ここまでで、$6 + 6 = 12$ 個

よって、34200台の数のうち、一番大きい数が60番目の数になる。

34200台の数で一番大きい数は342651ではない。なぜなら5桁の数の中で5, 1は既に使用済みであるからだ。

34265, 34251 となるので、一番大きい数は34265である。したがって12番目の数は34265である。

3. 最終的な答え

(1) 初めて30000以上になる数は31245であり、241番目である。

(2) 300番目の数は34265である。