問題8は、12人の生徒をいくつかのグループに分ける方法の数を求める問題です。問題9は、格子状の道において、PからQまで最短経路で移動する方法の数を求める問題です。

## 問題の回答

1. 問題の内容

問題8は、12人の生徒をいくつかのグループに分ける方法の数を求める問題です。問題9は、格子状の道において、PからQまで最短経路で移動する方法の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

### 問題8

(1) 12人から7人を選ぶ組み合わせを計算します。これは ${}_{12}C_7$ または ${}_{12}C_5$ と表せます。

${}_{12}C_7 = \frac{12!}{7!5!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792$ 通り

(2) 12人から6人を選び、残りの6人から4人を選び、残りの2人から2人を選ぶ組み合わせを計算します。

$\frac{12!}{6!4!2!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = 13860$ 通り

(3) 12人から6人を選び、残りの6人をもう一つのグループに入れる組み合わせを計算します。

${}_{12}C_6 = \frac{12!}{6!6!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 924$ 通り

(4) 12人から6人を選び、残りの6人をもう一つのグループに入れる組み合わせを計算しますが、2つのグループの区別がないため、2で割ります。

$\frac{{}_{12}C_6}{2} = \frac{924}{2} = 462$ 通り

(5) 12人から8人を選び、残りの4人から2人を選び、残りの2人から2人を選ぶ組み合わせを計算します。最後の2つのグループの区別がないため、2で割ります。

$\frac{12!}{8!2!2!2!} = {}_{12}C_8 \times {}_{4}C_2 \times {}_{2}C_2 / 2 = \frac{12!}{8!2!2!} \times \frac{1}{2!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{2 \times 2} \times \frac{6 \times 1}{2 \times 1}= 3465$

(6) 12人から3人を選び、残りの9人から3人を選び、残りの6人から3人を選び、残りの3人から3人を選ぶ組み合わせを計算します。4つのグループの区別がないため、4!で割ります。

$\frac{12!}{3!3!3!3!4!} = {}_{12}C_3 \times {}_{9}C_3 \times {}_{6}C_3 \times {}_{3}C_3 / 4! = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 1 / (4 \times 3 \times 2 \times 1) = \frac{369600}{24} = 15400$

### 問題9

(1) PからQまでの最短経路の総数は ${}_{7}C_3 = \frac{7!}{3!4!} = 35$通り。PからRまでの最短経路の総数は${}_{3}C_1 = 3$通り。RからQまでの最短経路の総数は ${}_{4}C_2 = \frac{4!}{2!2!} = 6$通り。したがって、Rを通る経路の総数は $3 \times 6 = 18$通り。

(2) PからQまでの総経路数は35通り。Pから×印までの経路数は ${}_{3}C_2 = 3$通り。×印からQまでの経路数は ${}_{4}C_1 = 4$通り。したがって、×印を通る経路数は $3 \times 4 = 12$通り。×印を通らない経路数は $35 - 12 = 23$通り。

(3) Rを通り、×印を通らない経路数を求めます。

PからRまでの経路数は ${}_{3}C_1 = 3$通り。

Rから×印までの経路数は ${}_{1}C_1 \times {}_{1}C_0 = 1$通り。

×印からQまでの経路数は ${}_{4}C_1 = 4$通り。

Rを通って×印も通る経路数は $3 \times 1 \times 4 = 12$通り。

Rを通る経路数は18通りなので、Rを通って×印を通らない経路数は $18-12 = 6$通り。

3. 最終的な答え

問題8：

(1) 792通り

(2) 13860通り

(3) 924通り

(4) 462通り

(5) 3465通り

(6) 15400通り

問題9：

(1) 18通り

(2) 23通り

(3) 6通り