(1) 10人を2つの部屋A, Bに入れる方法は何通りあるか。ただし、10人全員が同じ部屋に入ってもよいものとする。 (2) 10人を2つの組A, Bに分ける方法は何通りあるか。 (3) 10人を2つの組に分ける方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

(1) 10人を2つの部屋A, Bに入れる方法は何通りあるか。ただし、10人全員が同じ部屋に入ってもよいものとする。

(2) 10人を2つの組A, Bに分ける方法は何通りあるか。

(3) 10人を2つの組に分ける方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

10人それぞれが部屋Aか部屋Bのどちらかを選ぶので、各人について2通りの選択肢がある。

したがって、10人全員の選択肢の総数は $2^{10}$ となる。

$2^{10} = 1024$

(2)

(1)と同様に10人それぞれが組Aか組Bのどちらかを選ぶので、$2^{10} = 1024$通りとなる。

ただし、全員が組Aに入る場合と全員が組Bに入る場合は、どちらかの組が空になってしまうので、これら2通りを除く必要がある。

$2^{10} - 2 = 1024 - 2 = 1022$

(3)

(2)と同様に、まず組Aと組Bに区別があるものとして分ける場合の数を考える。

(2)より、その場合の数は1022通りである。

しかし、組Aと組Bの区別がないので、AとBを入れ替えることで同じ分け方になる場合が重複して数えられている。

例えば、Aに3人、Bに7人が入る分け方と、Aに7人、Bに3人が入る分け方は、組に区別がない場合は同じ分け方となる。

そのため、(2)で求めた1022通りを2で割る必要がある。

$1022 \div 2 = 511$

3. 最終的な答え

(1) 1024通り

(2) 1022通り

(3) 511通り