与えられた論理式 $\forall x \forall y \exists z P(x, y, z)$ と同値な命題を選択する問題です。選択肢は以下の4つです。 1. $\forall x \exists y \forall z P(x, y, z)$

1. 問題の内容

与えられた論理式 $\forall x \forall y \exists z P(x, y, z)$ と同値な命題を選択する問題です。選択肢は以下の4つです。

1. $\forall x \exists y \forall z P(x, y, z)$

2. $\forall x \forall y \forall z P(y, x, z)$

3. $\forall y \forall x \exists z P(x, y, z)$

4. $\forall x \forall y \exists z P(x, z, y)$

2. 解き方の手順

与えられた論理式 $\forall x \forall y \exists z P(x, y, z)$ は、「任意の $x$ と任意の $y$ に対して、ある $z$ が存在し、$P(x, y, z)$ が成り立つ」と解釈できます。

選択肢を一つずつ検討します。

1. $\forall x \exists y \forall z P(x, y, z)$ は、「任意の $x$ に対して、$y$ が存在し、任意の $z$ に対して $P(x, y, z)$ が成り立つ」という意味です。これは最初の論理式とは異なります。例えば$x$を固定したときに、それに対してただ一つのyを選んだら全ての$z$について、$P(x, y, z)$が成り立つ必要があります。

2. $\forall x \forall y \forall z P(y, x, z)$ は、「任意の $x$, $y$, $z$ に対して $P(y, x, z)$ が成り立つ」という意味です。最初の論理式とは異なります。

3. $\forall y \forall x \exists z P(x, y, z)$ は、「任意の $y$ と任意の $x$ に対して、ある $z$ が存在し、$P(x, y, z)$ が成り立つ」という意味です。全称量化子の順序は入れ替えることが可能なので、これは最初の論理式 $\forall x \forall y \exists z P(x, y, z)$ と同値です。

4. $\forall x \forall y \exists z P(x, z, y)$ は、「任意の $x$ と任意の $y$ に対して、ある $z$ が存在し、$P(x, z, y)$ が成り立つ」という意味です。最初の論理式とは異なります。$P(x,y,z)$と$P(x,z,y)$は一般的には異なるので

したがって、与えられた論理式と同値なのは選択肢3です。

3. 最終的な答え

3