与えられた命題 $\neg \neg \neg (\forall x \in \mathbb{N} \ \neg (\exists y \in \mathbb{N} \ (x+y>10)))$ と同値なものを選択肢から選びます。

1. 問題の内容

与えられた命題 $\neg \neg \neg (\forall x \in \mathbb{N} \ \neg (\exists y \in \mathbb{N} \ (x+y>10)))$ と同値なものを選択肢から選びます。

2. 解き方の手順

与えられた命題を簡略化します。

まず、$\neg \neg \neg$ は $\neg$ と同値です。したがって、与えられた命題は $\neg (\forall x \in \mathbb{N} \ \neg (\exists y \in \mathbb{N} \ (x+y>10)))$ となります。

次に、$\neg (\forall x)$ は $\exists x \ \neg$ と同値です。したがって、$\neg (\forall x \in \mathbb{N} \ \neg (\exists y \in \mathbb{N} \ (x+y>10)))$ は $\exists x \in \mathbb{N} \ \neg \neg (\exists y \in \mathbb{N} \ (x+y>10))$ と同値になります。

$\neg \neg$ は打ち消し合うので、$\exists x \in \mathbb{N} \ \exists y \in \mathbb{N} \ (x+y>10)$ となります。

これは、「ある自然数 $x$ が存在し、さらにある自然数 $y$ が存在して、$x+y > 10$ が成り立つ」ということを意味します。

選択肢の中から、この命題と同値なものを選びます。

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1. $\exists x \in \mathbb{N} \ \exists y \in \mathbb{N} \ (x+y \leq 10)$

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2. $\forall x \in \mathbb{N} \ \forall y \in \mathbb{N} \ (x+y \leq 10)$

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3. $\exists x \in \mathbb{N} \ \exists y \in \mathbb{N} \ (x+y > 10)$

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4. $\forall x \in \mathbb{N} \ \exists y \in \mathbb{N} \ \neg(x+y > 10)$

選択肢3が $\exists x \in \mathbb{N} \ \exists y \in \mathbb{N} \ (x+y > 10)$ と一致します。

3. 最終的な答え

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