問題は以下の2つです。 (1) 命題 $p$ と $q$ に対して、真理値表を完成させる問題です。具体的には、$\neg p$、$\neg p \lor q$、$p \rightarrow q$ の真理値を、$p$ と $q$ の真理値の組み合わせごとに求める必要があります。 (2) 命題 $p$ と $q$ に対して、$\neg (\neg p \land \neg q) \lor \neg p$ がトートロジーであることを論理演算によって証明する問題です。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(1) 命題 $p$ と $q$ に対して、真理値表を完成させる問題です。具体的には、$\neg p$、$\neg p \lor q$、$p \rightarrow q$ の真理値を、$p$ と $q$ の真理値の組み合わせごとに求める必要があります。

(2) 命題 $p$ と $q$ に対して、$\neg (\neg p \land \neg q) \lor \neg p$ がトートロジーであることを論理演算によって証明する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 真理値表の完成

- $\neg p$: $p$ の否定です。$p$ が真 (1) なら $\neg p$ は偽 (0)、$p$ が偽 (0) なら $\neg p$ は真 (1) となります。

- $\neg p \lor q$: $\neg p$ と $q$ の論理和です。$\neg p$ と $q$ の少なくとも一方が真なら $\neg p \lor q$ は真、そうでなければ偽となります。

- $p \rightarrow q$: $p$ ならば $q$ です。$p$ が真で $q$ が偽のときのみ偽、それ以外のときは真となります。

| $p$ | $q$ | $\neg p$ | $\neg p \lor q$ | $p \rightarrow q$ |

|---|---|---|---|---|

| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |

| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |

| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |

| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |

(2) トートロジーの証明

与えられた命題は $\neg (\neg p \land \neg q) \lor \neg p$ です。

ド・モルガンの法則を用いると、$\neg (\neg p \land \neg q)$ は $p \lor q$ と同値です。

したがって、与えられた命題は $(p \lor q) \lor \neg p$ と同値になります。

結合法則を用いると、$(p \lor q) \lor \neg p$ は $p \lor (q \lor \neg p)$ と同値になります。

交換法則を用いると、$p \lor (q \lor \neg p)$ は $p \lor (\neg p \lor q)$ と同値になります。

結合法則を用いると、$p \lor (\neg p \lor q)$ は $(p \lor \neg p) \lor q$ と同値になります。

排中律より、$p \lor \neg p$ は常に真 (1) です。

したがって、$(p \lor \neg p) \lor q$ は $1 \lor q$ と同値です。

$1 \lor q$ は常に真 (1) です。

したがって、$\neg (\neg p \land \neg q) \lor \neg p$ はトートロジーです。

3. 最終的な答え

(1) 真理値表は上記の通り。

(2) $\neg (\neg p \land \neg q) \lor \neg p$ はトートロジーである。