この問題は、数字の並べ方に関する組み合わせの問題です。 (1) 5つの数字から重複を許して4つ並べる場合の数 (2) 5つの数字から重複を許さず4つ並べる場合の数 (3) 5つの数字の中から1回使う数字と3回使う数字を選び、並べる場合の数を求める問題です。

1. 問題の内容

この問題は、数字の並べ方に関する組み合わせの問題です。

(1) 5つの数字から重複を許して4つ並べる場合の数

(2) 5つの数字から重複を許さず4つ並べる場合の数

(3) 5つの数字の中から1回使う数字と3回使う数字を選び、並べる場合の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 重複を許して4つ並べる場合の数は、$5^4$で計算できます。

$5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625$

(2) 重複を許さず4つ並べる場合の数は、順列 $_5P_4$ で計算できます。

$_5P_4 = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$

(3)

まず、1回使う数字と3回使う数字を選ぶ場合の数は、5つの数字から2つを選ぶ順列なので、$_5P_2=5 \times 4 = 20$ 通りです。

次に、選んだ2つの数字のうち、1回使う数字を4つの場所のうちどこに置くかを考えます。これは4箇所から1箇所を選ぶ組み合わせなので、$_4C_1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times 3 \times 2 \times 1} = 4$ 通りです。

したがって、異なる2つの数字を1回と3回使ってできるものは、20通り × 4通りで計算できます。

$20 \times 4 = 80$

3. 最終的な答え

(1) 625

(2) 120

(3) 80