アッカーマン関数 $A(m, n)$ について、$A(2, 1) = 5$ であることを、$A(2, 0) = 3$ と $A(1, 1) = 3$ であることを利用して、途中式を書いて示す。

1. 問題の内容

アッカーマン関数 $A(m, n)$ について、$A(2, 1) = 5$ であることを、$A(2, 0) = 3$ と $A(1, 1) = 3$ であることを利用して、途中式を書いて示す。

2. 解き方の手順

アッカーマン関数の定義は次の通りです。

$A(0, n) = n + 1$

$A(m, 0) = A(m-1, 1)$ for $m > 0$

$A(m, n) = A(m-1, A(m, n-1))$ for $m > 0$ and $n > 0$

この定義を用いて、$A(2, 1)$ を計算します。

まず、$A(2, 1)$ を定義に従って展開します。

$A(2, 1) = A(1, A(2, 0))$

$A(2, 0) = 3$ であることを問題文から知っているので、

$A(2, 1) = A(1, 3)$

次に、$A(1, 3)$ を展開します。

$A(1, 3) = A(0, A(1, 2))$

$A(1, 2) = A(0, A(1, 1))$

$A(1, 1) = 3$ であることを問題文から知っているので、

$A(1, 2) = A(0, 3)$

アッカーマン関数の定義より、$A(0, n) = n + 1$ なので、

$A(0, 3) = 3 + 1 = 4$

したがって、$A(1, 2) = 4$

$A(1, 3) = A(0, A(1, 2)) = A(0, 4)$

アッカーマン関数の定義より、$A(0, n) = n + 1$ なので、

$A(0, 4) = 4 + 1 = 5$

したがって、$A(1, 3) = 5$

よって、$A(2, 1) = A(1, 3) = 5$

3. 最終的な答え

$A(2,1) = 5$