東西に5本、南北に6本の格子状の道がある。A地点からB地点へ最短距離で行く経路について、以下の2つの場合の数を求める問題です。 (1) どのような道順でも良い場合 (2) C地点を通る場合

## 数学の問題

1. 問題の内容

東西に5本、南北に6本の格子状の道がある。A地点からB地点へ最短距離で行く経路について、以下の2つの場合の数を求める問題です。

(1) どのような道順でも良い場合

(2) C地点を通る場合

2. 解き方の手順

(1) どのような道順でも良い場合

AからBへ最短距離で行くには、東に4回、北に5回移動する必要があります。したがって、合計9回の移動のうち、どちらの方向に進むかを選ぶ組み合わせを考えれば良いです。

これは、9回の移動から東に進む4回を選ぶ組み合わせと同じなので、組み合わせの公式を用いて計算できます。

$_{9}C_{4} = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

(2) C地点を通る場合

C地点を通る場合、AからCまでの経路数と、CからBまでの経路数をそれぞれ計算し、それらを掛け合わせることで求められます。

AからCへ最短距離で行くには、東に2回、北に2回移動する必要があります。したがって、合計4回の移動のうち、どちらの方向に進むかを選ぶ組み合わせを考えれば良いです。

$_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

CからBへ最短距離で行くには、東に2回、北に3回移動する必要があります。したがって、合計5回の移動のうち、どちらの方向に進むかを選ぶ組み合わせを考えれば良いです。

$_{5}C_{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、C地点を通る経路の総数は、AからCまでの経路数とCからBまでの経路数を掛け合わせたものになります。

$6 \times 10 = 60$

3. 最終的な答え

(1) どのような道順でも良い場合：126通り

(2) Cを通る場合：60通り