白玉6個と黒玉3個が入った袋から、玉を1個ずつ元に戻さずに2回続けて取り出すとき、白玉の出る回数 $X$ の確率分布を求める問題です。

1. 問題の内容

白玉6個と黒玉3個が入った袋から、玉を1個ずつ元に戻さずに2回続けて取り出すとき、白玉の出る回数 $X$ の確率分布を求める問題です。

2. 解き方の手順

$X$ は、2回取り出したうちの白玉の個数なので、取りうる値は0, 1, 2です。それぞれの確率を計算します。

* $X = 0$ のとき（2回とも黒玉が出るとき）

1回目の確率： $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

2回目の確率： $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

したがって、$P(X=0) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$

* $X = 1$ のとき（1回だけ白玉が出るとき）

1回目に白玉、2回目に黒玉の場合：$\frac{6}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{8} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$

1回目に黒玉、2回目に白玉の場合：$\frac{3}{9} \times \frac{6}{8} = \frac{1}{3} \times \frac{6}{8} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$

したがって、$P(X=1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

* $X = 2$ のとき（2回とも白玉が出るとき）

1回目の確率：$\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

2回目の確率：$\frac{5}{8}$

したがって、$P(X=2) = \frac{2}{3} \times \frac{5}{8} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$

確率の合計を確認します。

$\frac{1}{12} + \frac{1}{2} + \frac{5}{12} = \frac{1}{12} + \frac{6}{12} + \frac{5}{12} = \frac{12}{12} = 1$

3. 最終的な答え

X | 0 | 1 | 2 | 計

--|----|----|----|----

P | 1/12 | 1/2 | 5/12 | 1