与えられた数列 $3, 6, 11, 18, 27, \dots$ の一般項 $a_n$ を、階差数列を利用して求める。

1. 問題の内容

与えられた数列 $3, 6, 11, 18, 27, \dots$ の一般項 $a_n$ を、階差数列を利用して求める。

2. 解き方の手順

数列の階差数列を求める。

与えられた数列を $\{a_n\}$ とする。$a_1 = 3, a_2 = 6, a_3 = 11, a_4 = 18, a_5 = 27, \dots$

階差数列 $\{b_n\}$ は、

$b_n = a_{n+1} - a_n$

$b_1 = a_2 - a_1 = 6 - 3 = 3$

$b_2 = a_3 - a_2 = 11 - 6 = 5$

$b_3 = a_4 - a_3 = 18 - 11 = 7$

$b_4 = a_5 - a_4 = 27 - 18 = 9$

したがって、階差数列 $\{b_n\}$ は $3, 5, 7, 9, \dots$ である。これは初項が $3$ で公差が $2$ の等差数列である。

$b_n = 3 + (n-1) \times 2 = 3 + 2n - 2 = 2n + 1$

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1)$

$a_n = 3 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 3 + 2 \times \frac{(n-1)n}{2} + (n-1) = 3 + n(n-1) + (n-1) = 3 + n^2 - n + n - 1 = n^2 + 2$

$n = 1$ のとき $a_1 = 1^2 + 2 = 3$ であり、$a_1 = 3$ と一致する。

3. 最終的な答え

したがって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n = n^2 + 2$ である。