定数 $p$ に対して定まる2次関数 $f(x) = x^2 - 4px + p$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ の最小値を $m$ とするとき、$m$ を $p$ の式で表す。 (2) 最小値 $m$ は、どのような $p$ の値に対して最大となるか。また、その最大値を求める。

1. 問題の内容

定数 $p$ に対して定まる2次関数 $f(x) = x^2 - 4px + p$ について、以下の問いに答える。

(1) $f(x)$ の最小値を $m$ とするとき、$m$ を $p$ の式で表す。

(2) 最小値 $m$ は、どのような $p$ の値に対して最大となるか。また、その最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 4px + p = (x - 2p)^2 - 4p^2 + p$

$f(x)$ は下に凸な放物線なので、$x = 2p$ で最小値をとる。よって、最小値 $m$ は

$m = -4p^2 + p$

(2) $m = -4p^2 + p$ を平方完成する。

$m = -4(p^2 - \frac{1}{4}p) = -4( (p - \frac{1}{8})^2 - \frac{1}{64} ) = -4(p - \frac{1}{8})^2 + \frac{1}{16}$

$m$ は上に凸な放物線なので、$p = \frac{1}{8}$ で最大値をとる。その最大値は $m = \frac{1}{16}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $m = -4p^2 + p$

(2) $p = \frac{1}{8}$ のとき、最大値は $\frac{1}{16}$