関数 $y = x^2 + 2x + a$ の最小値が -3 であるとき、定数 $a$ の値を求めます。

## (1) の問題

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 + 2x + a$ の最小値が -3 であるとき、定数 $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 + 2x + a = (x+1)^2 - 1 + a$

この式から、頂点の座標は $(-1, -1+a)$ であることがわかります。

$x^2$ の係数が正であるため、この関数は下に凸なグラフを持ち、頂点で最小値をとります。

したがって、最小値は $-1+a$ です。

問題文より、最小値が -3 であることから、以下の式が成り立ちます。

$-1+a = -3$

この式を $a$ について解きます。

$a = -3 + 1$

$a = -2$

3. 最終的な答え

$a = -2$

## (2) の問題

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 4x + a$ （$1 \leqq x \leqq 5$）の最大値が 6 であるとき、定数 $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + a = (x-2)^2 - 4 + a$

この式から、頂点の座標は $(2, -4+a)$ であることがわかります。

$x^2$ の係数が正であるため、この関数は下に凸なグラフを持ちます。定義域は $1 \leqq x \leqq 5$ です。

頂点の $x$ 座標は 2 であり、これは定義域に含まれています。

定義域の両端の $x$ 座標における関数の値を調べます。

$x = 1$ のとき、$y = 1^2 - 4(1) + a = 1 - 4 + a = a - 3$

$x = 5$ のとき、$y = 5^2 - 4(5) + a = 25 - 20 + a = a + 5$

下に凸なグラフなので、$x=5$ のときに最大値を取ります。したがって$a+5=6$となります。

$a = 6 - 5$

$a = 1$

3. 最終的な答え

$a = 1$

## (3) の問題

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 3x + a$ （$-3 \leqq x \leqq 1$）の最大値が 4 であるとき、定数 $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -(x^2 - 3x) + a = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} + a$

この式から、頂点の座標は $(\frac{3}{2}, \frac{9}{4} + a)$ であることがわかります。

$x^2$ の係数が負であるため、この関数は上に凸なグラフを持ちます。定義域は $-3 \leqq x \leqq 1$ です。

頂点の $x$ 座標は $\frac{3}{2}$ であり、これは定義域に含まれていません。

定義域の両端の $x$ 座標における関数の値を調べます。

$x = -3$ のとき、$y = -(-3)^2 + 3(-3) + a = -9 - 9 + a = a - 18$

$x = 1$ のとき、$y = -(1)^2 + 3(1) + a = -1 + 3 + a = a + 2$

頂点の$x$座標 $\frac{3}{2}$ は区間 $[-3, 1]$ の外にあるため、最大値は$x=1$の時、 $y = a+2$ で与えられます。

問題文より、最大値が 4 であることから、以下の式が成り立ちます。

$a + 2 = 4$

$a = 4 - 2$

$a = 2$

3. 最終的な答え

$a = 2$

## (4) の問題

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 - 4x + a$ の最大値が、関数 $y = x^2 - 4x$ の最小値と等しくなるとき、定数 $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$y = -x^2 - 4x + a$ を平方完成します。

$y = -(x^2 + 4x) + a = -(x+2)^2 + 4 + a$

したがって、$y = -x^2 - 4x + a$ の最大値は $4+a$ です。

次に、$y = x^2 - 4x$ を平方完成します。

$y = x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$

したがって、$y = x^2 - 4x$ の最小値は $-4$ です。

問題文より、$4+a = -4$ が成り立つため、$a = -4 - 4 = -8$ となります。

3. 最終的な答え

$a = -8$