初項から第7項までの和が3、初項から第14項までの和が18である等比数列がある。この等比数列の公比を$r$とするとき、$r^7$の値、初項から第21項までの和、および第22項から第28項までの和を求める問題です。

1. 問題の内容

初項から第7項までの和が3、初項から第14項までの和が18である等比数列がある。この等比数列の公比を$r$とするとき、$r^7$の値、初項から第21項までの和、および第22項から第28項までの和を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、初項を$a$、公比を$r$とすると、初項から第$n$項までの和$S_n$は、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

と表されます。ただし、$r \neq 1$とします。

与えられた条件から、

$S_7 = \frac{a(1-r^7)}{1-r} = 3$

$S_{14} = \frac{a(1-r^{14})}{1-r} = 18$

が成り立ちます。

$S_{14} = \frac{a(1-r^{14})}{1-r} = \frac{a(1-r^7)(1+r^7)}{1-r} = 18$

$S_7 = \frac{a(1-r^7)}{1-r} = 3$

なので、

$\frac{S_{14}}{S_7} = \frac{\frac{a(1-r^7)(1+r^7)}{1-r}}{\frac{a(1-r^7)}{1-r}} = \frac{18}{3} = 6$

$1+r^7 = 6$

$r^7 = 5$

次に、初項から第21項までの和$S_{21}$を求めます。

$S_{21} = \frac{a(1-r^{21})}{1-r} = \frac{a(1-(r^7)^3)}{1-r} = \frac{a(1-r^7)(1+r^7+r^{14})}{1-r}$

$S_{21} = S_7(1+r^7+r^{14}) = 3(1+5+5^2) = 3(1+5+25) = 3(31) = 93$

最後に、第22項から第28項までの和を求めます。

第22項から第28項までの和は、$S_{28}-S_{21}$で表されます。

$S_{28} = \frac{a(1-r^{28})}{1-r} = \frac{a(1-(r^7)^4)}{1-r} = S_7(1+r^7+r^{14}+r^{21}) = 3(1+5+5^2+5^3) = 3(1+5+25+125) = 3(156) = 468$

第22項から第28項までの和は、

$S_{28} - S_{21} = 468-93 = 375$

3. 最終的な答え

$r^7 = 5$

初項から第21項までの和は$93$

第22項から第28項までの和は$375$