初項から第7項までの和が3、初項から第14項までの和が18である等比数列がある。この等比数列の公比を $r$ とするとき、$r^7$ の値、初項から第21項までの和、および第22項から第28項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

初項から第7項までの和が3、初項から第14項までの和が18である等比数列がある。この等比数列の公比を $r$ とするとき、$r^7$ の値、初項から第21項までの和、および第22項から第28項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、初項を $a$ とし、公比を $r$ とする。

初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

問題文より、

$S_7 = \frac{a(1-r^7)}{1-r} = 3$ ...(1)

$S_{14} = \frac{a(1-r^{14})}{1-r} = 18$ ...(2)

(2)を(1)で割ると、

$\frac{S_{14}}{S_7} = \frac{1-r^{14}}{1-r^7} = \frac{18}{3} = 6$

$\frac{(1-r^7)(1+r^7)}{1-r^7} = 6$

$1+r^7 = 6$

$r^7 = 5$

次に、初項から第21項までの和 $S_{21}$ を求める。

$S_{21} = \frac{a(1-r^{21})}{1-r} = \frac{a(1-(r^7)^3)}{1-r}$

$S_{21} = \frac{a(1-r^7)}{1-r} (1+r^7+r^{14}) = S_7 (1+r^7+(r^7)^2)$

$S_{21} = 3(1+5+5^2) = 3(1+5+25) = 3(31) = 93$

最後に、第22項から第28項までの和を求める。これは、$S_{28} - S_{21}$ で求められる。

$S_{28} = \frac{a(1-r^{28})}{1-r} = \frac{a(1-(r^7)^4)}{1-r}$

$S_{28} = \frac{a(1-r^7)}{1-r} (1+r^7+r^{14}+r^{21}) = S_7 (1+r^7+(r^7)^2+(r^7)^3)$

$S_{28} = 3(1+5+25+125) = 3(156) = 468$

第22項から第28項までの和は $S_{28} - S_{21} = 468 - 93 = 375$

3. 最終的な答え

$r^7 = 5$

初項から第21項までの和は 93

第22項から第28項までの和は 375