画像に掲載されている数学の問題は、次の3種類です。 1. 式の展開

1. 問題の内容

画像に掲載されている数学の問題は、次の3種類です。

1. 式の展開

2. 式の因数分解

3. 二次方程式を解く

2. 解き方の手順

以下、問題ごとに手順と解答を示します。

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1. 式の展開**

1. $xy(x - 3y)$

分配法則を用いて展開します。

$xy(x - 3y) = xy \cdot x - xy \cdot 3y = x^2y - 3xy^2$

2. $(3x + 2y)^2$

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ の公式を利用して展開します。

$(3x + 2y)^2 = (3x)^2 + 2(3x)(2y) + (2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2$

3. $(x + 3)(x - 3)$

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の公式を利用して展開します。

$(x + 3)(x - 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$

4. $(x + 2)(x + 3)$

分配法則を用いて展開します。

$(x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$

5. $(x + 1)^3$

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ の公式を利用して展開します。

$(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2(1) + 3x(1)^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

6. $(x + y - 1)^2$

$A = x + y$ とおくと、 $(A - 1)^2 = A^2 - 2A + 1$ となります。さらに、$A$ を元に戻すと、

$(x + y - 1)^2 = (x+y)^2 - 2(x+y) + 1 = x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y + 1$

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2. 式の因数分解**

1. $2xy - 6y$

共通因数 $2y$ でくくります。

$2xy - 6y = 2y(x - 3)$

2. $x^2 - 6x + 9$

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の公式を利用します。

$x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2(3)x + 3^2 = (x - 3)^2$

3. $x^2 - 3xy - 10y^2$

$(x + ay)(x + by)$ の形に因数分解します。$a + b = -3$ と $ab = -10$ を満たす $a$ と $b$ を探すと、$a = 2$ , $b = -5$ が見つかります。

$x^2 - 3xy - 10y^2 = (x + 2y)(x - 5y)$

4. $x^3 - 27$

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を利用します。

$x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$

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3. 二次方程式を解く**

1. $9x^2 = 1$

$9x^2 - 1 = 0$ と変形し、因数分解します。

$(3x - 1)(3x + 1) = 0$

$3x - 1 = 0$ または $3x + 1 = 0$ より、$x = \frac{1}{3}, -\frac{1}{3}$

2. $(x + 4)(x - 1) = 0$

$x + 4 = 0$ または $x - 1 = 0$ より、$x = -4, 1$

3. $x^2 + 4x - 12 = 0$

$(x + 6)(x - 2) = 0$ と因数分解できます。

$x + 6 = 0$ または $x - 2 = 0$ より、$x = -6, 2$

4. $x^2 - 2x - 1 = 0$

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を利用します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

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1. 式の展開**

1. $x^2y - 3xy^2$

2. $9x^2 + 12xy + 4y^2$

3. $x^2 - 9$

4. $x^2 + 5x + 6$

5. $x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

6. $x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y + 1$

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2. 式の因数分解**

1. $2y(x - 3)$

2. $(x - 3)^2$

3. $(x + 2y)(x - 5y)$

4. $(x - 3)(x^2 + 3x + 9)$

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3. 二次方程式を解く**

1. $x = \frac{1}{3}, -\frac{1}{3}$

2. $x = -4, 1$

3. $x = -6, 2$

4. $x = 1 \pm \sqrt{2}$