$a$ は正の定数であるとき、関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ の区間 $0 \le x \le a$ における最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数であるとき、関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ の区間 $0 \le x \le a$ における最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ を平方完成します。

$y = -(x^2 - 2x) + 1$

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1$

$y = -(x - 1)^2 + 1 + 1$

$y = -(x - 1)^2 + 2$

この関数は上に凸な放物線であり、頂点の座標は $(1, 2)$ です。

次に、$a$ の値によって場合分けをします。

(1) $0 < a < 1$ のとき

区間 $0 \le x \le a$ において、関数は単調増加します。したがって、$x = a$ で最大値をとります。

最大値は $y = -a^2 + 2a + 1$ です。

(2) $a = 1$ のとき

区間 $0 \le x \le 1$ において、$x = 1$ で最大値をとります。

最大値は $y = -(1 - 1)^2 + 2 = 2$ です。

(3) $a > 1$ のとき

区間 $0 \le x \le a$ において、頂点の $x$ 座標である $x = 1$ が区間内に含まれています。したがって、$x = 1$ で最大値をとります。

最大値は $y = -(1 - 1)^2 + 2 = 2$ です。

したがって、

$0 < a \le 1$ のとき、最大値は $-a^2 + 2a + 1$

$a > 1$ のとき、最大値は $2$

3. 最終的な答え

$0 < a \le 1$ のとき、最大値は $-a^2 + 2a + 1$

$a > 1$ のとき、最大値は $2$