関数 $y = -x^2 + 6x + c$ ($1 \leq x \leq 4$) の最小値が1となるように、定数 $c$ の値を求め、そのときの最大値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 6x + c$ ($1 \leq x \leq 4$) の最小値が1となるように、定数 $c$ の値を求め、そのときの最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 6x + c = -(x^2 - 6x) + c = -(x^2 - 6x + 9 - 9) + c = -(x - 3)^2 + 9 + c$

したがって、この放物線の頂点の座標は $(3, 9+c)$ です。放物線は上に凸であるため、軸 $x=3$ は定義域 $1 \leq x \leq 4$ の範囲内にあります。

次に、定義域 $1 \leq x \leq 4$ における関数の最小値を考えます。上に凸の放物線なので、最小値は定義域の端点 $x=1$ または $x=4$ でとります。

$x=1$のとき、$y = -1^2 + 6(1) + c = -1 + 6 + c = 5 + c$

$x=4$のとき、$y = -4^2 + 6(4) + c = -16 + 24 + c = 8 + c$

したがって、最小値は $5 + c$ です。問題文より、最小値は1であるので、

$5 + c = 1$

$c = 1 - 5 = -4$

よって、$c = -4$ です。このとき、$y = -(x-3)^2 + 9 - 4 = -(x-3)^2 + 5$ となります。

頂点の座標は $(3, 5)$ であり、これは定義域内にあります。

最大値は頂点の $y$ 座標で与えられます。

したがって、最大値は 5 です。

3. 最終的な答え

$c = -4$

最大値 $= 5$