袋の中に、番号2の玉が4個、番号3の玉が2個、番号4の玉が3個、番号5の玉が1個入っています。この袋から玉を1個取り出すときに出る番号を$X$とします。確率変数$Y = 10X - 2$の期待値$E(Y)$と標準偏差$\sigma(Y)$を求めます。

1. 問題の内容

袋の中に、番号2の玉が4個、番号3の玉が2個、番号4の玉が3個、番号5の玉が1個入っています。この袋から玉を1個取り出すときに出る番号を$X$とします。確率変数$Y = 10X - 2$の期待値$E(Y)$と標準偏差$\sigma(Y)$を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$X$の確率分布を求めます。玉の総数は$4 + 2 + 3 + 1 = 10$個です。

- $P(X=2) = \frac{4}{10} = 0.4$

- $P(X=3) = \frac{2}{10} = 0.2$

- $P(X=4) = \frac{3}{10} = 0.3$

- $P(X=5) = \frac{1}{10} = 0.1$

次に、$X$の期待値$E(X)$を計算します。

$E(X) = 2 \times 0.4 + 3 \times 0.2 + 4 \times 0.3 + 5 \times 0.1 = 0.8 + 0.6 + 1.2 + 0.5 = 3.1$

$Y = 10X - 2$なので、$Y$の期待値$E(Y)$は、

$E(Y) = E(10X - 2) = 10E(X) - 2 = 10 \times 3.1 - 2 = 31 - 2 = 29$

次に、$X$の分散$V(X)$を計算します。

$E(X^2) = 2^2 \times 0.4 + 3^2 \times 0.2 + 4^2 \times 0.3 + 5^2 \times 0.1 = 4 \times 0.4 + 9 \times 0.2 + 16 \times 0.3 + 25 \times 0.1 = 1.6 + 1.8 + 4.8 + 2.5 = 10.7$

$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 10.7 - (3.1)^2 = 10.7 - 9.61 = 1.09$

$Y = 10X - 2$なので、$Y$の分散$V(Y)$は、

$V(Y) = V(10X - 2) = 10^2 V(X) = 100 \times 1.09 = 109$

最後に、$Y$の標準偏差$\sigma(Y)$を計算します。

$\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)} = \sqrt{109} \approx 10.44$

3. 最終的な答え

期待値 $E(Y) = 29$

標準偏差 $\sigma(Y) = \sqrt{109}$