(3) 粘性抵抗が働く場合、物体の任意の時刻 $t$ における $x$ 方向と $y$ 方向の速度を求めよ。ただし、粘性抵抗の比例係数を $\gamma_1$ とする。 (4) (3)の場合に、物体の任意の時刻 $t$ における位置を求めよ。 (5) 慣性抵抗が働く場合、物体の任意の時刻 $t$ における $x$ 方向と $y$ 方向の速度を求めよ。ただし、慣性抵抗の比例係数を $\gamma_2$ とする。

1. 問題の内容

(3) 粘性抵抗が働く場合、物体の任意の時刻 $t$ における $x$ 方向と $y$ 方向の速度を求めよ。ただし、粘性抵抗の比例係数を $\gamma_1$ とする。

(4) (3)の場合に、物体の任意の時刻 $t$ における位置を求めよ。

(5) 慣性抵抗が働く場合、物体の任意の時刻 $t$ における $x$ 方向と $y$ 方向の速度を求めよ。ただし、慣性抵抗の比例係数を $\gamma_2$ とする。

2. 解き方の手順

(3) 粘性抵抗が働く場合：

$x$方向の運動方程式は、$m \frac{dv_x}{dt} = -\gamma_1 v_x$ である。初期条件を $v_x(0) = v_0$ とすると、

$\frac{dv_x}{v_x} = -\frac{\gamma_1}{m} dt$

両辺を積分して、

$\int_{v_0}^{v_x} \frac{dv_x'}{v_x'} = \int_0^t -\frac{\gamma_1}{m} dt'$

$\ln \frac{v_x}{v_0} = -\frac{\gamma_1}{m} t$

$v_x(t) = v_0 e^{-\frac{\gamma_1}{m} t}$

$y$方向の運動方程式は、$m \frac{dv_y}{dt} = -mg - \gamma_1 v_y$ である。

$\frac{dv_y}{dt} = -g - \frac{\gamma_1}{m} v_y$

$\frac{dv_y}{g + \frac{\gamma_1}{m} v_y} = -dt$

$\int_{0}^{v_y} \frac{dv_y'}{g + \frac{\gamma_1}{m} v_y'} = \int_0^t -dt'$

$\frac{m}{\gamma_1} \ln \frac{g + \frac{\gamma_1}{m} v_y}{g} = -t$

$\ln \frac{g + \frac{\gamma_1}{m} v_y}{g} = -\frac{\gamma_1}{m} t$

$\frac{g + \frac{\gamma_1}{m} v_y}{g} = e^{-\frac{\gamma_1}{m} t}$

$g + \frac{\gamma_1}{m} v_y = g e^{-\frac{\gamma_1}{m} t}$

$\frac{\gamma_1}{m} v_y = g(e^{-\frac{\gamma_1}{m} t} - 1)$

$v_y(t) = \frac{mg}{\gamma_1} (e^{-\frac{\gamma_1}{m} t} - 1)$

(4) (3)の場合：

$x$方向の位置 $x(t)$ を求めるには、$v_x(t)$ を積分する。初期位置を $x(0) = 0$ とする。

$x(t) = \int_0^t v_x(t') dt' = \int_0^t v_0 e^{-\frac{\gamma_1}{m} t'} dt' = v_0 \left[ -\frac{m}{\gamma_1} e^{-\frac{\gamma_1}{m} t'} \right]_0^t = \frac{m v_0}{\gamma_1} (1 - e^{-\frac{\gamma_1}{m} t})$

$y$方向の位置 $y(t)$ を求めるには、$v_y(t)$ を積分する。初期位置を $y(0) = h$ とする。

$y(t) = \int_0^t v_y(t') dt' + h = \int_0^t \frac{mg}{\gamma_1} (e^{-\frac{\gamma_1}{m} t'} - 1) dt' + h = \frac{mg}{\gamma_1} \left[ -\frac{m}{\gamma_1} e^{-\frac{\gamma_1}{m} t'} - t' \right]_0^t + h = \frac{mg}{\gamma_1} \left( -\frac{m}{\gamma_1} e^{-\frac{\gamma_1}{m} t} - t + \frac{m}{\gamma_1} \right) + h = h - \frac{mgt}{\gamma_1} + \frac{m^2 g}{\gamma_1^2} (1 - e^{-\frac{\gamma_1}{m} t})$

(5) 慣性抵抗が働く場合：

$x$方向の運動方程式は、$m \frac{dv_x}{dt} = -\gamma_2 (v_x)^2$ である。

$\frac{dv_x}{v_x^2} = -\frac{\gamma_2}{m} dt$

$\int_{v_0}^{v_x} \frac{dv_x'}{(v_x')^2} = \int_0^t -\frac{\gamma_2}{m} dt'$

$\left[ -\frac{1}{v_x'} \right]_{v_0}^{v_x} = -\frac{\gamma_2}{m} t$

$-\frac{1}{v_x} + \frac{1}{v_0} = -\frac{\gamma_2}{m} t$

$\frac{1}{v_x} = \frac{1}{v_0} + \frac{\gamma_2}{m} t = \frac{m + \gamma_2 v_0 t}{m v_0}$

$v_x(t) = \frac{m v_0}{m + \gamma_2 v_0 t}$

$y$方向の運動方程式は、$m \frac{dv_y}{dt} = -mg - \gamma_2 (v_y)^2$ である。

$\frac{dv_y}{dt} = -g - \frac{\gamma_2}{m} v_y^2$

$\frac{dv_y}{g + \frac{\gamma_2}{m} v_y^2} = -dt$

初期条件 $v_y(0) = 0$ とする。

$\int_{0}^{v_y} \frac{dv_y'}{g + \frac{\gamma_2}{m} (v_y')^2} = - \int_0^t dt'$

$\int_{0}^{v_y} \frac{dv_y'}{g + \frac{\gamma_2}{m} (v_y')^2} = \sqrt{\frac{m}{g\gamma_2}} \arctan(v_y\sqrt{\frac{\gamma_2}{mg}}) = -t$

$\arctan(v_y\sqrt{\frac{\gamma_2}{mg}}) = -t\sqrt{\frac{g\gamma_2}{m}}$

$v_y\sqrt{\frac{\gamma_2}{mg}} = \tan(-t\sqrt{\frac{g\gamma_2}{m}})$

$v_y = -\sqrt{\frac{mg}{\gamma_2}} \tan(t\sqrt{\frac{g\gamma_2}{m}})$

3. 最終的な答え

(3) 粘性抵抗が働く場合：

$v_x(t) = v_0 e^{-\frac{\gamma_1}{m} t}$

$v_y(t) = \frac{mg}{\gamma_1} (e^{-\frac{\gamma_1}{m} t} - 1)$

(4) (3)の場合：

$x(t) = \frac{m v_0}{\gamma_1} (1 - e^{-\frac{\gamma_1}{m} t})$

$y(t) = h - \frac{mgt}{\gamma_1} + \frac{m^2 g}{\gamma_1^2} (1 - e^{-\frac{\gamma_1}{m} t})$

(5) 慣性抵抗が働く場合：

$v_x(t) = \frac{m v_0}{m + \gamma_2 v_0 t}$

$v_y(t) = -\sqrt{\frac{mg}{\gamma_2}} \tan(t\sqrt{\frac{g\gamma_2}{m}})$