幅が12cmの銅板を90°に1回だけ折り曲げて水の流れる溝を作る。このとき、溝の切り口の面積を最大にするには、どのように折り曲げればよいか。また、その時の切り口の面積を求めよ。

1. 問題の内容

幅が12cmの銅板を90°に1回だけ折り曲げて水の流れる溝を作る。このとき、溝の切り口の面積を最大にするには、どのように折り曲げればよいか。また、その時の切り口の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

折り曲げる長さを $x$ cmとすると、もう片方の長さは $(12-x)$ cmとなる。

切り口の面積 $S$ は、$S = x(12-x)$ で表される。

$S$ を最大にする $x$ を求める。

$S = x(12-x) = -x^2 + 12x$

$S$ を平方完成する。

$S = -(x^2 - 12x) = -(x^2 - 12x + 36 - 36) = -(x-6)^2 + 36$

$S$ は、$x = 6$ のとき最大値 $36$ をとる。

つまり、12cmの銅板を半分で折り曲げたとき、切り口の面積が最大になる。

3. 最終的な答え

6cmのところで折り曲げればよい。そのときの切り口の面積は36 cm$^2$である。