幅12cmの鋼板を90度に1回だけ折り曲げて水路を作る。水路の切り口の面積を最大にするにはどのように折り曲げれば良いか、また、そのときの切り口の面積を求めよ。

1. 問題の内容

幅12cmの鋼板を90度に1回だけ折り曲げて水路を作る。水路の切り口の面積を最大にするにはどのように折り曲げれば良いか、また、そのときの切り口の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

鋼板の幅を$w=12$とする。折り曲げる長さを$x$とすると、もう片方の長さは$12-x$となる。

水路の切り口の面積$S$は、

$S = x(12-x)$

と表せる。

面積$S$を最大にする$x$の値を求めるために、Sを$x$で微分し、その結果を0とおく。

$\frac{dS}{dx} = 12 - 2x$

$\frac{dS}{dx} = 0$となるのは、

$12 - 2x = 0$

$2x = 12$

$x = 6$

このとき、$\frac{d^2S}{dx^2} = -2 < 0$より、$x = 6$で面積は最大となる。

したがって、折り曲げる長さは6cmで、もう片方の長さも$12-6=6$cmとなる。

このときの面積は、

$S = 6(12-6) = 6 \times 6 = 36$

3. 最終的な答え

幅が6cmになるように折り曲げれば良い。そのときの切り口の面積は36 $cm^2$である。