(3) 粘性抵抗が働く場合、物体の任意の時刻 $t$ における $x$ 方向と $y$ 方向の速度をそれぞれ求めよ。ただし、粘性抵抗の比例係数を $\gamma_1$ とする。 (4) (3) の場合、物体の任意の時刻 $t$ における位置を求めよ。 (5) 慣性抵抗が働く場合、物体の任意の時刻 $t$ における $x$ 方向と $y$ 方向の速度をそれぞれ求めよ。ただし、慣性抵抗の比例係数を $\gamma_2$ とする。

1. 問題の内容

(3) 粘性抵抗が働く場合、物体の任意の時刻 $t$ における $x$ 方向と $y$ 方向の速度をそれぞれ求めよ。ただし、粘性抵抗の比例係数を $\gamma_1$ とする。

(4) (3) の場合、物体の任意の時刻 $t$ における位置を求めよ。

(5) 慣性抵抗が働く場合、物体の任意の時刻 $t$ における $x$ 方向と $y$ 方向の速度をそれぞれ求めよ。ただし、慣性抵抗の比例係数を $\gamma_2$ とする。

2. 解き方の手順

(3) 粘性抵抗が働く場合：

$x$ 方向の速度：

抵抗力は $F = -\gamma_1 v_x$ と表される。運動方程式は $m \frac{dv_x}{dt} = -\gamma_1 v_x$。

初期条件を $v_x(0) = v_0$ とすると、解は $v_x(t) = v_0 e^{-\frac{\gamma_1}{m} t}$ となる。

$y$ 方向の速度：

運動方程式は $m \frac{dv_y}{dt} = mg - \gamma_1 v_y$。

初期条件を $v_y(0) = 0$ とすると、解は $v_y(t) = \frac{mg}{\gamma_1}(1 - e^{-\frac{\gamma_1}{m} t})$ となる。

(4) 位置を求める場合：

$x$ 方向の位置：

$x(t) = \int v_x(t) dt = \int v_0 e^{-\frac{\gamma_1}{m} t} dt = -\frac{mv_0}{\gamma_1} e^{-\frac{\gamma_1}{m} t} + C$

初期条件を $x(0) = 0$ とすると、$0 = -\frac{mv_0}{\gamma_1} + C$ より $C = \frac{mv_0}{\gamma_1}$。

したがって、$x(t) = \frac{mv_0}{\gamma_1}(1 - e^{-\frac{\gamma_1}{m} t})$。

$y$ 方向の位置：

$y(t) = \int v_y(t) dt = \int \frac{mg}{\gamma_1}(1 - e^{-\frac{\gamma_1}{m} t}) dt = \frac{mg}{\gamma_1} (t + \frac{m}{\gamma_1} e^{-\frac{\gamma_1}{m} t}) + C'$

初期条件を $y(0) = 0$ とすると、$0 = \frac{mg}{\gamma_1} (\frac{m}{\gamma_1}) + C'$ より $C' = -\frac{m^2 g}{\gamma_1^2}$。

したがって、$y(t) = \frac{mg}{\gamma_1} t + \frac{m^2 g}{\gamma_1^2}(e^{-\frac{\gamma_1}{m} t} - 1)$。

(5) 慣性抵抗が働く場合：

慣性抵抗とは、加速度に比例する抵抗力のことである。しかし、問題文の意味が不明確なため、ここでは抵抗力は速度の2乗に比例するとして、抵抗力は $F = -\gamma_2 v^2$ と仮定する。

$x$ 方向の速度：

運動方程式は $m \frac{dv_x}{dt} = -\gamma_2 v_x^2$。

$\frac{dv_x}{v_x^2} = -\frac{\gamma_2}{m} dt$。両辺を積分すると、$-\frac{1}{v_x} = -\frac{\gamma_2}{m} t + C$。

初期条件を $v_x(0) = v_0$ とすると、$-\frac{1}{v_0} = C$。

したがって、$-\frac{1}{v_x} = -\frac{\gamma_2}{m} t - \frac{1}{v_0}$。

$v_x = \frac{1}{\frac{\gamma_2}{m} t + \frac{1}{v_0}} = \frac{v_0}{1 + \frac{\gamma_2 v_0}{m} t}$。

$y$ 方向の速度：

運動方程式は $m \frac{dv_y}{dt} = mg - \gamma_2 v_y^2$。

$\frac{dv_y}{dt} = g - \frac{\gamma_2}{m} v_y^2$。

終端速度 $v_T = \sqrt{\frac{mg}{\gamma_2}}$ を導入すると、$\frac{dv_y}{dt} = \frac{\gamma_2}{m}(v_T^2 - v_y^2)$。

$\int \frac{dv_y}{v_T^2 - v_y^2} = \int \frac{\gamma_2}{m} dt$。

$\frac{1}{2 v_T} \ln |\frac{v_T + v_y}{v_T - v_y}| = \frac{\gamma_2}{m} t + C$。

初期条件を $v_y(0) = 0$ とすると、$C = 0$。

$\ln |\frac{v_T + v_y}{v_T - v_y}| = \frac{2 \gamma_2 v_T}{m} t$。

$\frac{v_T + v_y}{v_T - v_y} = e^{\frac{2 \gamma_2 v_T}{m} t}$。

$v_T + v_y = (v_T - v_y) e^{\frac{2 \gamma_2 v_T}{m} t}$。

$v_y(1 + e^{\frac{2 \gamma_2 v_T}{m} t}) = v_T (e^{\frac{2 \gamma_2 v_T}{m} t} - 1)$。

$v_y = v_T \frac{e^{\frac{2 \gamma_2 v_T}{m} t} - 1}{e^{\frac{2 \gamma_2 v_T}{m} t} + 1} = v_T \tanh(\frac{\gamma_2 v_T}{m} t) = \sqrt{\frac{mg}{\gamma_2}} \tanh(\sqrt{\frac{\gamma_2 g}{m}} t)$。

3. 最終的な答え

(3) 粘性抵抗の場合：

$v_x(t) = v_0 e^{-\frac{\gamma_1}{m} t}$

$v_y(t) = \frac{mg}{\gamma_1}(1 - e^{-\frac{\gamma_1}{m} t})$

(4) 粘性抵抗の場合の位置：

$x(t) = \frac{mv_0}{\gamma_1}(1 - e^{-\frac{\gamma_1}{m} t})$

$y(t) = \frac{mg}{\gamma_1} t + \frac{m^2 g}{\gamma_1^2}(e^{-\frac{\gamma_1}{m} t} - 1)$

(5) 慣性抵抗の場合（抵抗力は速度の2乗に比例する場合）：

$v_x(t) = \frac{v_0}{1 + \frac{\gamma_2 v_0}{m} t}$

$v_y(t) = \sqrt{\frac{mg}{\gamma_2}} \tanh(\sqrt{\frac{\gamma_2 g}{m}} t)$