粘性抵抗が働く場合の物体の運動について、以下の2つの問題を解く必要があります。 (3) 任意の時刻 $t$ における $x$ 方向と $y$ 方向の速度を求めます。ただし、粘性抵抗の比例係数は $\gamma_1$ とします。 (4) (3)の結果を用いて、任意の時刻 $t$ における物体の位置を求めます。

1. 問題の内容

粘性抵抗が働く場合の物体の運動について、以下の2つの問題を解く必要があります。

(3) 任意の時刻 $t$ における $x$ 方向と $y$ 方向の速度を求めます。ただし、粘性抵抗の比例係数は $\gamma_1$ とします。

(4) (3)の結果を用いて、任意の時刻 $t$ における物体の位置を求めます。

2. 解き方の手順

問題文の横に手書きで書かれている式を参考にします。ただし、いくつか修正が必要な箇所があります。

(3) $x$方向の速度 $v_x$ と $y$方向の速度 $v_y$ は、以下のようになります。

$v_x = v_0e^{-\frac{\gamma_1}{m}t}$

$v_y = \frac{mg}{\gamma_1}(1 - e^{-\frac{\gamma_1}{m}t})$

ここで、$v_0$ は $x$ 方向の初速度、$m$ は物体の質量、$g$ は重力加速度です。

(4) $x$方向の位置 $x(t)$ と $y$方向の位置 $y(t)$ は、それぞれの速度を時間で積分することで求めることができます。初期位置を $x(0) = 0$、$y(0) = 0$ とすると、

$x(t) = \int_0^t v_x(t') dt' = \int_0^t v_0e^{-\frac{\gamma_1}{m}t'} dt'$

$x(t) = v_0 \left[ -\frac{m}{\gamma_1} e^{-\frac{\gamma_1}{m}t'} \right]_0^t = v_0 \frac{m}{\gamma_1} (1 - e^{-\frac{\gamma_1}{m}t})$

$y(t) = \int_0^t v_y(t') dt' = \int_0^t \frac{mg}{\gamma_1}(1 - e^{-\frac{\gamma_1}{m}t'}) dt'$

$y(t) = \frac{mg}{\gamma_1} \left[ t + \frac{m}{\gamma_1} e^{-\frac{\gamma_1}{m}t'} \right]_0^t = \frac{mg}{\gamma_1} \left( t + \frac{m}{\gamma_1} e^{-\frac{\gamma_1}{m}t} - \frac{m}{\gamma_1} \right)$

$y(t) = \frac{mgt}{\gamma_1} + \frac{m^2g}{\gamma_1^2} (e^{-\frac{\gamma_1}{m}t} - 1)$

3. 最終的な答え

(3)

$x$方向の速度: $v_x = v_0e^{-\frac{\gamma_1}{m}t}$

$y$方向の速度: $v_y = \frac{mg}{\gamma_1}(1 - e^{-\frac{\gamma_1}{m}t})$

(4)

$x$方向の位置: $x(t) = v_0 \frac{m}{\gamma_1} (1 - e^{-\frac{\gamma_1}{m}t})$

$y$方向の位置: $y(t) = \frac{mgt}{\gamma_1} + \frac{m^2g}{\gamma_1^2} (e^{-\frac{\gamma_1}{m}t} - 1)$