傾斜角 $\alpha$ の斜面の下端から、斜面の上方へ角度 $\theta - \alpha$ 、速さ $v$ で物体を投射する。重力加速度の大きさを $g$ とする。空気抵抗は無視できる。 (1) 物体の斜面への落下地点から斜面下端までの距離 $l$ を求めよ。 (2) 飛距離 $l$ を最大にする $\theta$ を求めよ。ただし、$\theta > \alpha$ 、$0 \le \alpha < \frac{\pi}{2}$ とする。

1. 問題の内容

傾斜角 $\alpha$ の斜面の下端から、斜面の上方へ角度 $\theta - \alpha$ 、速さ $v$ で物体を投射する。重力加速度の大きさを $g$ とする。空気抵抗は無視できる。

(1) 物体の斜面への落下地点から斜面下端までの距離 $l$ を求めよ。

(2) 飛距離 $l$ を最大にする $\theta$ を求めよ。ただし、$\theta > \alpha$ 、$0 \le \alpha < \frac{\pi}{2}$ とする。

2. 解き方の手順

(1)

まず、物体の運動を水平方向と鉛直方向に分解する。

水平方向の加速度は $0$ なので、

$x = v \cos(\theta - \alpha) t$

鉛直方向の加速度は $-g$ なので、

$y = v \sin(\theta - \alpha) t - \frac{1}{2} g t^2$

斜面の式は $y = x \tan \alpha$ である。物体が斜面に落下する時、この式が成り立つので、

$v \sin(\theta - \alpha) t - \frac{1}{2} g t^2 = v \cos(\theta - \alpha) t \tan \alpha$

$v \sin(\theta - \alpha) - \frac{1}{2} g t = v \cos(\theta - \alpha) \tan \alpha$

$\frac{1}{2} g t = v (\sin(\theta - \alpha) - \cos(\theta - \alpha) \tan \alpha)$

$t = \frac{2v}{g} (\sin(\theta - \alpha) - \cos(\theta - \alpha) \tan \alpha)$

$t = \frac{2v}{g} (\sin(\theta - \alpha) - \cos(\theta - \alpha) \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha})$

$t = \frac{2v}{g} \frac{\sin(\theta - \alpha) \cos \alpha - \cos(\theta - \alpha) \sin \alpha}{\cos \alpha}$

$t = \frac{2v}{g} \frac{\sin(\theta - \alpha - \alpha)}{\cos \alpha}$

$t = \frac{2v}{g} \frac{\sin(\theta - 2\alpha)}{\cos \alpha}$

落下地点の座標は、

$x = v \cos(\theta - \alpha) t = v \cos(\theta - \alpha) \frac{2v}{g} \frac{\sin(\theta - 2\alpha)}{\cos \alpha} = \frac{2v^2}{g} \frac{\cos(\theta - \alpha) \sin(\theta - 2\alpha)}{\cos \alpha}$

$y = x \tan \alpha = \frac{2v^2}{g} \frac{\cos(\theta - \alpha) \sin(\theta - 2\alpha)}{\cos \alpha} \tan \alpha = \frac{2v^2}{g} \cos(\theta - \alpha) \sin(\theta - 2\alpha) \frac{\sin \alpha}{\cos^2 \alpha}$

距離 $l$ は

$l = \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{x}{\cos \alpha} = \frac{2v^2}{g} \frac{\cos(\theta - \alpha) \sin(\theta - 2\alpha)}{\cos^2 \alpha}$

$l = \frac{2v^2}{g \cos^2 \alpha} \cos(\theta - \alpha) \sin(\theta - 2\alpha)$

$l = \frac{2v^2}{g \cos^2 \alpha} \cos(\theta - \alpha) \sin(\theta - 2\alpha)$

$l = \frac{v^2}{g \cos^2 \alpha} [\sin(\theta - 2\alpha + \theta - \alpha) + \sin(\theta - 2\alpha - \theta + \alpha)]$

$l = \frac{v^2}{g \cos^2 \alpha} [\sin(2\theta - 3\alpha) + \sin(-\alpha)]$

$l = \frac{v^2}{g \cos^2 \alpha} [\sin(2\theta - 3\alpha) - \sin(\alpha)]$

(2)

$l$ を最大にするには、$\sin(2\theta - 3\alpha) = 1$ となればよい。

$2\theta - 3\alpha = \frac{\pi}{2}$

$2\theta = \frac{\pi}{2} + 3\alpha$

$\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{3}{2}\alpha$

3. 最終的な答え

(1) $l = \frac{v^2}{g \cos^2 \alpha} [\sin(2\theta - 3\alpha) - \sin(\alpha)]$

(2) $\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{3}{2}\alpha$