傾斜角 $\alpha$ の斜面の下端から、斜面の上方へ物体を投射する。投射時の斜面とのなす角度は $\theta - \alpha$, 速度の大きさは $v$ である。重力加速度の大きさを $g$ とする。物体の斜面への落下地点から斜面下端までの距離 $l$ を求めよ。ただし、$\theta > \alpha$、 $0 \le \alpha < \frac{\pi}{2}$ とする。

1. 問題の内容

傾斜角 $\alpha$ の斜面の下端から、斜面の上方へ物体を投射する。投射時の斜面とのなす角度は $\theta - \alpha$, 速度の大きさは $v$ である。重力加速度の大きさを $g$ とする。物体の斜面への落下地点から斜面下端までの距離 $l$ を求めよ。ただし、$\theta > \alpha$、 $0 \le \alpha < \frac{\pi}{2}$ とする。

2. 解き方の手順

まず、斜面を $x$ 軸、斜面に垂直な方向を $y$ 軸とする座標系を考える。

初速度の $x$ 成分 $v_x$ と $y$ 成分 $v_y$ はそれぞれ

$v_x = v\cos(\theta - \alpha)$

$v_y = v\sin(\theta - \alpha)$

重力加速度の $x$ 成分 $a_x$ と $y$ 成分 $a_y$ はそれぞれ

$a_x = g\sin\alpha$

$a_y = -g\cos\alpha$

物体の位置を $(x, y)$ とすると、時刻 $t$ における物体の位置は

$x = v_x t + \frac{1}{2} a_x t^2 = v\cos(\theta - \alpha) t + \frac{1}{2} g\sin\alpha t^2$

$y = v_y t + \frac{1}{2} a_y t^2 = v\sin(\theta - \alpha) t - \frac{1}{2} g\cos\alpha t^2$

物体が斜面に落下する時刻 $T$ は $y = 0$ となる時刻なので

$v\sin(\theta - \alpha) T - \frac{1}{2} g\cos\alpha T^2 = 0$

$T(v\sin(\theta - \alpha) - \frac{1}{2} g\cos\alpha T) = 0$

$T = 0$ は初期状態を表すので、$T \neq 0$ より

$v\sin(\theta - \alpha) - \frac{1}{2} g\cos\alpha T = 0$

$T = \frac{2v\sin(\theta - \alpha)}{g\cos\alpha}$

落下地点の $x$ 座標は

$l = v\cos(\theta - \alpha) T + \frac{1}{2} g\sin\alpha T^2$

$= v\cos(\theta - \alpha) \frac{2v\sin(\theta - \alpha)}{g\cos\alpha} + \frac{1}{2} g\sin\alpha (\frac{2v\sin(\theta - \alpha)}{g\cos\alpha})^2$

$= \frac{2v^2\cos(\theta - \alpha)\sin(\theta - \alpha)}{g\cos\alpha} + \frac{1}{2} g\sin\alpha \frac{4v^2\sin^2(\theta - \alpha)}{g^2\cos^2\alpha}$

$= \frac{2v^2\cos(\theta - \alpha)\sin(\theta - \alpha)}{g\cos\alpha} + \frac{2v^2\sin\alpha\sin^2(\theta - \alpha)}{g\cos^2\alpha}$

$= \frac{2v^2}{g\cos^2\alpha}(\cos(\theta - \alpha)\sin(\theta - \alpha)\cos\alpha + \sin\alpha\sin^2(\theta - \alpha))$

$= \frac{2v^2}{g\cos^2\alpha}\sin(\theta - \alpha)(\cos(\theta - \alpha)\cos\alpha + \sin\alpha\sin(\theta - \alpha))$

$= \frac{2v^2}{g\cos^2\alpha}\sin(\theta - \alpha)\cos(\theta - \alpha - \alpha)$

$= \frac{2v^2}{g\cos^2\alpha}\sin(\theta - \alpha)\cos(\theta - 2\alpha)$

3. 最終的な答え

$l = \frac{2v^2\sin(\theta - \alpha)\cos(\theta - 2\alpha)}{g\cos^2\alpha}$