与えられた条件下で、円管内の流れが層流か乱流かを判定する。具体的には、 1. 内径20mmの円管に水が10秒間に0.005m³流れる場合。 2. 1の場合から内径が20倍になった場合。 3. 2の場合から内径は変わらず流速が130%になった場合。 それぞれについて、レイノルズ数を計算し、臨界レイノルズ数と比較して流れの様式を判定する。水の密度 $\rho_w = 1000 \text{kg/m}^3$、粘性係数 $\mu_w = 1.00 \times 10^{-3} \text{Pa}\cdot\text{s}$、臨界レイノルズ数はレイノルズの実験値とする。

1. 問題の内容

与えられた条件下で、円管内の流れが層流か乱流かを判定する。具体的には、

1. 内径20mmの円管に水が10秒間に0.005m³流れる場合。

2. 1の場合から内径が20倍になった場合。

3. 2の場合から内径は変わらず流速が130%になった場合。

それぞれについて、レイノルズ数を計算し、臨界レイノルズ数と比較して流れの様式を判定する。水の密度 $\rho_w = 1000 \text{kg/m}^3$、粘性係数 $\mu_w = 1.00 \times 10^{-3} \text{Pa}\cdot\text{s}$、臨界レイノルズ数はレイノルズの実験値とする。

2. 解き方の手順

レイノルズ数 $Re$ は次式で定義される。

$Re = \frac{\rho V D}{\mu}$

ここで、$\rho$ は密度、 $V$ は流速、 $D$ は管径、 $\mu$ は粘性係数である。

円管内の平均流速 $V$ は、体積流量 $Q$ と管の断面積 $A$ を用いて、$V = \frac{Q}{A}$ と表される。円管の断面積は $A = \pi (D/2)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$ であり、したがって $V = \frac{4Q}{\pi D^2}$ となる。

各ケースについてレイノルズ数を計算し、臨界レイノルズ数(ここではレイノルズの実験値である2300と仮定)と比較する。$Re < 2300$ ならば層流、$Re > 2300$ ならば乱流と判断する。

1. の場合：

* $D = 20 \text{mm} = 0.02 \text{m}$

* $Q = 0.005 \text{m}^3 / 10 \text{s} = 0.0005 \text{m}^3/\text{s}$

* $V = \frac{4 \times 0.0005}{\pi \times (0.02)^2} = \frac{0.002}{0.0004\pi} = \frac{5}{\pi} \approx 1.59 \text{m/s}$

* $Re = \frac{1000 \times 1.59 \times 0.02}{1.00 \times 10^{-3}} = 1000 \times 1.59 \times 20 = 31800$

$Re = 31800 > 2300$ であるから、乱流。

2. の場合：

* $D' = 20 \times D = 20 \times 0.02 \text{m} = 0.4 \text{m}$

* $Q = 0.0005 \text{m}^3/\text{s}$ (同じ)

* $V' = \frac{4 \times 0.0005}{\pi \times (0.4)^2} = \frac{0.002}{0.16\pi} = \frac{0.0125}{\pi} \approx 0.00398 \text{m/s}$

* $Re' = \frac{1000 \times 0.00398 \times 0.4}{1.00 \times 10^{-3}} = 1000 \times 0.00398 \times 400 = 1592$

$Re' = 1592 < 2300$ であるから、層流。

3. の場合：

* $D' = 0.4 \text{m}$ (同じ)

* $V'' = 1.3 \times V' = 1.3 \times 0.00398 \text{m/s} \approx 0.005174 \text{m/s}$

* $Re'' = \frac{1000 \times 0.005174 \times 0.4}{1.00 \times 10^{-3}} = 1000 \times 0.005174 \times 400 = 2069.6$

$Re'' = 2069.6 < 2300$ であるから、層流。

4. 最終的な答え

1. 乱流

2. 層流

3. 層流