半径10cmの円管内を水が流れている。円管内には4 Pa/mの圧力勾配が存在する。流れがポアズイユ流れであると仮定した場合、流路断面の中心における流速を求めよ。ただし、水の密度は1000 kg/m³、粘性係数は$1.002 \times 10^{-3}$ Pa・sとする。

1. 問題の内容

半径10cmの円管内を水が流れている。円管内には4 Pa/mの圧力勾配が存在する。流れがポアズイユ流れであると仮定した場合、流路断面の中心における流速を求めよ。ただし、水の密度は1000 kg/m³、粘性係数は$1.002 \times 10^{-3}$ Pa・sとする。

2. 解き方の手順

ポアズイユ流れにおける流速分布は以下の式で表されます。

$v(r) = \frac{1}{4\eta} \frac{dp}{dx} (R^2 - r^2)$

ここで、

- $v(r)$ は半径 $r$ の位置における流速

- $\eta$ は粘性係数

- $\frac{dp}{dx}$ は圧力勾配

- $R$ は円管の半径

- $r$ は円管の中心からの距離

問題で求められているのは流路断面の中心における流速、つまり$r=0$のときの流速なので、上の式に$r=0$を代入します。

$v(0) = \frac{1}{4\eta} \frac{dp}{dx} R^2$

与えられた値を代入します。

- $\eta = 1.002 \times 10^{-3}$ Pa・s

- $\frac{dp}{dx} = 4$ Pa/m

- $R = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$

$v(0) = \frac{1}{4 \times 1.002 \times 10^{-3}} \times 4 \times (0.1)^2 = \frac{4 \times 0.01}{4 \times 1.002 \times 10^{-3}} = \frac{0.01}{1.002 \times 10^{-3}} = \frac{10}{1.002} \approx 9.98 \text{ m/s}$

3. 最終的な答え

流路断面の中心における流速は、約9.98 m/sです。