市場需要関数 $D = a - bP$、市場供給関数 $S = -c + dP$ が与えられている。 (1) 市場均衡がワルラス的に安定となるための条件を示す。 (2) 市場均衡がマーシャル的に安定となるための条件を示す。 (3) 下図(a)~(e)のうち、均衡がマーシャル的に安定であり、ワルラス的に不安定であるものの組み合わせを選ぶ。

1. 問題の内容

市場需要関数 $D = a - bP$、市場供給関数 $S = -c + dP$ が与えられている。

(1) 市場均衡がワルラス的に安定となるための条件を示す。

(2) 市場均衡がマーシャル的に安定となるための条件を示す。

(3) 下図(a)~(e)のうち、均衡がマーシャル的に安定であり、ワルラス的に不安定であるものの組み合わせを選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) ワルラス的安定条件

ワルラス的安定条件は、超過需要関数 $E(P) = D(P) - S(P)$ が価格の上昇とともに減少することである。つまり、$\frac{dE}{dP} < 0$ が成立する必要がある。

$E(P) = (a - bP) - (-c + dP) = a + c - (b + d)P$

$\frac{dE}{dP} = -(b + d)$

したがって、ワルラス的安定条件は $b + d > 0$ である。$b, d > 0$ であるので、これは常に満たされる。

(2) マーシャル的安定条件

マーシャル的安定条件は、ある数量において需要価格 $P_D(Q)$ が供給価格 $P_S(Q)$ より大きいときには数量が増加し、需要価格が供給価格より小さいときには数量が減少することである。つまり、$Q$ を横軸，$P$を縦軸としたグラフ上で、均衡点において供給曲線が需要曲線より急傾斜である必要がある。あるいは、需要曲線と供給曲線を数量について解いたとき、需要関数の逆関数 $P_D(Q)$ と供給関数の逆関数 $P_S(Q)$ を用いると、マーシャル的安定条件は $\frac{dP_D}{dQ} < \frac{dP_S}{dQ}$ と表される。

$D = a - bP$ より $P_D = \frac{a - Q}{b}$

$S = -c + dP$ より $P_S = \frac{Q + c}{d}$

$\frac{dP_D}{dQ} = -\frac{1}{b}$

$\frac{dP_S}{dQ} = \frac{1}{d}$

したがって、マーシャル的安定条件は $-\frac{1}{b} < \frac{1}{d}$、すなわち $b + d > 0$を満たす必要がある。

より詳細には、傾きの絶対値について $|\frac{dP_D}{dQ}| > |\frac{dP_S}{dQ}|$ である必要がある。つまり $\frac{1}{b} < \frac{1}{d}$ である必要があり、これは $b > d$と同値である。

(3)

(a) マーシャル的に安定 ($b>d$)、ワルラス的に安定 ($b+d>0$)

(b) マーシャル的に不安定 ($b<d$)、ワルラス的に安定 ($b+d>0$)

(c) マーシャル的に安定 ($b>d$)、ワルラス的に安定 ($b+d>0$)

(d) マーシャル的に不安定 ($b<d$)、ワルラス的に安定 ($b+d>0$)

(e) マーシャル的に安定 ($b>d$)、ワルラス的に安定 ($b+d>0$)

ワルラス的に不安定なケースは存在しない。

問題文の仮定が正しければ、$b+d>0$が常に満たされるので、ワルラス的に不安定なケースは存在しない。

画像のグラフに基づいて考えると、

マーシャル的に安定 ($b>d$)とは、需要曲線の傾き（絶対値）が供給曲線の傾き（絶対値）より大きいということである。

ワルラス的に不安定 ($b+d<0$)とは、需要曲線の傾き+供給曲線の傾き > 0ということ。

図を見ると、

(a) 需要曲線は右下がり、供給曲線は右上がり。マーシャル的に安定となるには、需要曲線の方が急である必要がある。

(b) 需要曲線は右下がり、供給曲線は右上がり。マーシャル的に不安定となるには、供給曲線の方が急である必要がある。

(c) 需要曲線は右上がり、供給曲線も右上がり。ありえない。

(d) 需要曲線は右下がり、供給曲線は右下がり。ありえない。

(e) 需要曲線は右上がり、供給曲線は右上がり。ありえない。

図が間違っているように見える。

3. 最終的な答え

(1) ワルラス的安定条件: $b+d > 0$

(2) マーシャル的安定条件: $b > d$

(3) 該当する図は存在しない. 図が間違っているか、問題設定に矛盾がある。