質量 $m = 3.0 \text{ kg}$ の物体が、水平面と角度 $\theta = 45^\circ$ をなす滑らかな斜面上に置かれている。物体を静かに離したとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 加速度 $a$ と垂直抗力 $N$ を求めよ。ただし、斜面下方を正とする。 (2) 物体が斜面上を距離 $L = 2.0 \text{ m}$ だけ滑り降りるのにかかる時間 $t$ と、そのときの速さ $v$ を求めよ。

1. 問題の内容

質量 $m = 3.0 \text{ kg}$ の物体が、水平面と角度 $\theta = 45^\circ$ をなす滑らかな斜面上に置かれている。物体を静かに離したとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 加速度 $a$ と垂直抗力 $N$ を求めよ。ただし、斜面下方を正とする。

(2) 物体が斜面上を距離 $L = 2.0 \text{ m}$ だけ滑り降りるのにかかる時間 $t$ と、そのときの速さ $v$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 加速度 $a$ と垂直抗力 $N$ を求める。

斜面下向きを正とすると、物体の運動方程式は以下のようになる。

$ma = mg \sin\theta$

$a = g \sin\theta$

ここで、$g = 9.8 \text{ m/s}^2$、$\theta = 45^\circ$ であるから、

$a = 9.8 \sin 45^\circ = 9.8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 6.93 \text{ m/s}^2$

垂直抗力 $N$ は、斜面に垂直な方向の力の釣り合いから求める。

$N = mg \cos\theta$

$N = 3.0 \times 9.8 \times \cos 45^\circ = 3.0 \times 9.8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 20.79 \text{ N}$

(2) 時間 $t$ と速さ $v$ を求める。

初速度 $v_0 = 0$、加速度 $a = 6.93 \text{ m/s}^2$、距離 $L = 2.0 \text{ m}$ である。

等加速度運動の公式 $L = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ より、

$2.0 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 6.93 \times t^2$

$t^2 = \frac{4.0}{6.93} \approx 0.577$

$t = \sqrt{0.577} \approx 0.76 \text{ s}$

速さ $v$ は、等加速度運動の公式 $v = v_0 + at$ より、

$v = 0 + 6.93 \times 0.76 \approx 5.27 \text{ m/s}$

3. 最終的な答え

(1) 加速度 $a = 6.93 \text{ m/s}^2$、垂直抗力 $N = 20.79 \text{ N}$

(2) 時間 $t = 0.76 \text{ s}$、速さ $v = 5.27 \text{ m/s}$