与えられたポテンシャル $U$ から、粒子が受ける力 $\mathbf{F}$ を求める問題です。 (1) $U = mgz$ (2) $U = \frac{1}{2}kx^2$ (3) $U = -\frac{c}{r}$, ただし $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

1. 問題の内容

与えられたポテンシャル $U$ から、粒子が受ける力 $\mathbf{F}$ を求める問題です。

(1) $U = mgz$

(2) $U = \frac{1}{2}kx^2$

(3) $U = -\frac{c}{r}$, ただし $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

2. 解き方の手順

力 $\mathbf{F}$ はポテンシャル $U$ の勾配の負として与えられます。すなわち、

$\mathbf{F} = -\nabla U = -\left( \frac{\partial U}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial U}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial U}{\partial z} \mathbf{k} \right)$

各場合について、偏微分を計算して力を求めます。

(1) $U = mgz$ の場合：

$\frac{\partial U}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial U}{\partial y} = 0$

$\frac{\partial U}{\partial z} = mg$

したがって、

$\mathbf{F} = -(0\mathbf{i} + 0\mathbf{j} + mg\mathbf{k}) = -mg\mathbf{k}$

(2) $U = \frac{1}{2}kx^2$ の場合：

$\frac{\partial U}{\partial x} = kx$

$\frac{\partial U}{\partial y} = 0$

$\frac{\partial U}{\partial z} = 0$

したがって、

$\mathbf{F} = -(kx\mathbf{i} + 0\mathbf{j} + 0\mathbf{k}) = -kx\mathbf{i}$

(3) $U = -\frac{c}{r}$ の場合：

まず、$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ なので、

$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{x}{r}$

$\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{y}{r}$

$\frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{z}{r}$

$\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{c}{r} \right) = \frac{c}{r^2} \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{c}{r^2} \frac{x}{r} = \frac{cx}{r^3}$

$\frac{\partial U}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( -\frac{c}{r} \right) = \frac{c}{r^2} \frac{\partial r}{\partial y} = \frac{c}{r^2} \frac{y}{r} = \frac{cy}{r^3}$

$\frac{\partial U}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left( -\frac{c}{r} \right) = \frac{c}{r^2} \frac{\partial r}{\partial z} = \frac{c}{r^2} \frac{z}{r} = \frac{cz}{r^3}$

したがって、

$\mathbf{F} = -\left( \frac{cx}{r^3}\mathbf{i} + \frac{cy}{r^3}\mathbf{j} + \frac{cz}{r^3}\mathbf{k} \right) = -\frac{c}{r^3}(x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}) = -\frac{c}{r^3}\mathbf{r}$

3. 最終的な答え

(1) $\mathbf{F} = -mg\mathbf{k}$

(2) $\mathbf{F} = -kx\mathbf{i}$

(3) $\mathbf{F} = -\frac{c}{r^3}\mathbf{r}$