ある商品を1個200円で仕入れます。 - 1個250円で売ると1日に600個売れます。 - 1円値下げするごとに売上個数は15個ずつ増加します。 - 1円値上げするごとに売上個数は15個ずつ減少します。 1日の利益を最大にする仕入れ個数と1個あたりの売り値を求める問題です。仕入れた商品はその日のうちに完売させるとします。

1. 問題の内容

ある商品を1個200円で仕入れます。

- 1個250円で売ると1日に600個売れます。

- 1円値下げするごとに売上個数は15個ずつ増加します。

- 1円値上げするごとに売上個数は15個ずつ減少します。

1日の利益を最大にする仕入れ個数と1個あたりの売り値を求める問題です。仕入れた商品はその日のうちに完売させるとします。

2. 解き方の手順

まず、1個あたりの売り値を $x$ 円とします。

売り値を250円から $n$ 円変更したとすると、$x = 250 + n$ と表せます。

売上個数は、$600 - 15n$ 個と表せます。

利益は、（売り値 - 仕入れ値）× 売上個数 で計算できます。

利益 $P$ を $n$ の式で表すと、

$P = (x - 200) \times (600 - 15n)$

$P = (250 + n - 200) \times (600 - 15n)$

$P = (50 + n) \times (600 - 15n)$

$P = 30000 - 750n + 600n - 15n^2$

$P = -15n^2 - 150n + 30000$

利益 $P$ が最大になる $n$ を求めるために、平方完成を行います。

$P = -15(n^2 + 10n) + 30000$

$P = -15(n^2 + 10n + 25 - 25) + 30000$

$P = -15((n + 5)^2 - 25) + 30000$

$P = -15(n + 5)^2 + 375 + 30000$

$P = -15(n + 5)^2 + 30375$

$n = -5$ のとき、利益 $P$ は最大値30375円をとります。

このとき、売り値 $x$ は $x = 250 + n = 250 - 5 = 245$ 円です。

売上個数は $600 - 15n = 600 - 15(-5) = 600 + 75 = 675$ 個です。

3. 最終的な答え

仕入れ個数：675個

1個あたりの売り値：245円