複素数 $2+2i$ の絶対値を $r$ とするとき、$r$ の値を求め、$cos\theta$ と $sin\theta$ の値を計算する。

代数学複素数絶対値極形式三角関数
2025/6/23

1. 問題の内容

複素数 2+2i2+2i の絶対値を rr とするとき、rr の値を求め、cosθcos\thetasinθsin\theta の値を計算する。

2. 解き方の手順

まず、2+2i2+2i の絶対値 rr を求める。複素数 a+bia+bi の絶対値は a2+b2\sqrt{a^2 + b^2} で計算される。
したがって、r=22+22=4+4=8=22r = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
次に、cosθcos\thetasinθsin\theta の値を求める。複素数 a+bia+bi を極形式で表すと、r(cosθ+isinθ)r(cos\theta + i sin\theta) となる。
この問題では、2+2i=r(cosθ+isinθ)2+2i = r(cos\theta + i sin\theta) なので、r=22r = 2\sqrt{2} であるから、2+2i=22(cosθ+isinθ)2+2i = 2\sqrt{2}(cos\theta + i sin\theta) となる。
実部と虚部を比較すると、
2=22cosθ2 = 2\sqrt{2} cos\theta
2=22sinθ2 = 2\sqrt{2} sin\theta
したがって、
cosθ=222=12cos\theta = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
sinθ=222=12sin\theta = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

3. 最終的な答え

r=22r = 2\sqrt{2}
cosθ=12cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}
sinθ=12sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}

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