複素数 $2+2i$ の絶対値を $r$ とするとき、$r$ の値を求め、$cos\theta$ と $sin\theta$ の値を計算する。

1. 問題の内容

複素数 $2+2i$ の絶対値を $r$ とするとき、$r$ の値を求め、$cos\theta$ と $sin\theta$ の値を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$2+2i$ の絶対値 $r$ を求める。複素数 $a+bi$ の絶対値は $\sqrt{a^2 + b^2}$ で計算される。

したがって、$r = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。

次に、$cos\theta$ と $sin\theta$ の値を求める。複素数 $a+bi$ を極形式で表すと、$r(cos\theta + i sin\theta)$ となる。

この問題では、$2+2i = r(cos\theta + i sin\theta)$ なので、$r = 2\sqrt{2}$ であるから、$2+2i = 2\sqrt{2}(cos\theta + i sin\theta)$ となる。

実部と虚部を比較すると、

$2 = 2\sqrt{2} cos\theta$

$2 = 2\sqrt{2} sin\theta$

したがって、

$cos\theta = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$sin\theta = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

3. 最終的な答え

$r = 2\sqrt{2}$

$cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$