1から4の数字が書かれたカードがそれぞれ4枚、3枚、2枚、1枚あります。合計10枚のカードの中から1枚引くとき、出る数字を確率変数 $X$ とします。このとき、確率変数 $Y = 7X - 2$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を求めます。

1. 問題の内容

1から4の数字が書かれたカードがそれぞれ4枚、3枚、2枚、1枚あります。合計10枚のカードの中から1枚引くとき、出る数字を確率変数 $X$ とします。このとき、確率変数 $Y = 7X - 2$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$X$の確率分布を求めます。

$P(X=1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$P(X=2) = \frac{3}{10}$

$P(X=3) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$P(X=4) = \frac{1}{10}$

次に、$X$の期待値 $E(X)$ を求めます。

$E(X) = 1 \cdot \frac{2}{5} + 2 \cdot \frac{3}{10} + 3 \cdot \frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{6}{10} + \frac{6}{10} + \frac{4}{10} = \frac{20}{10} = 2$

$Y = 7X - 2$ の期待値 $E(Y)$ は、$E(Y) = 7E(X) - 2$ で求められます。

$E(Y) = 7(2) - 2 = 14 - 2 = 12$

次に、$X$の分散 $V(X)$ を求めます。

$E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{2}{5} + 2^2 \cdot \frac{3}{10} + 3^2 \cdot \frac{1}{5} + 4^2 \cdot \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{12}{10} + \frac{18}{10} + \frac{16}{10} = \frac{50}{10} = 5$

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 5 - 2^2 = 5 - 4 = 1$

$Y = 7X - 2$ の分散 $V(Y)$ は、$V(Y) = 7^2 V(X)$ で求められます。

$V(Y) = 49 \cdot 1 = 49$

$Y$ の標準偏差 $\sigma(Y)$ は、$\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)}$ で求められます。

$\sigma(Y) = \sqrt{49} = 7$

3. 最終的な答え

期待値 $E(Y)$: 12

標準偏差 $\sigma(Y)$: 7