箱の中に青玉が3個、赤玉が3個入っている。箱から玉を戻さずに1個ずつ2回取り出すとき、取り出された青玉の数を$X$、赤玉の数を$Y$とする。$X$と$Y$の同時分布を求め、表を完成させる。

1. 問題の内容

箱の中に青玉が3個、赤玉が3個入っている。箱から玉を戻さずに1個ずつ2回取り出すとき、取り出された青玉の数を$X$、赤玉の数を$Y$とする。$X$と$Y$の同時分布を求め、表を完成させる。

2. 解き方の手順

$X$と$Y$の取りうる値はそれぞれ0, 1, 2である。

同時分布は、各組み合わせについて確率を計算し、表に記入する。

まず、全事象の場合の数を考える。6個の玉から2個取り出すので、

$_{6}P_{2} = 6 \times 5 = 30$通り。

次に、各組み合わせの確率を計算する。

* $P(X=0, Y=2)$: 2回とも赤玉を取り出す場合。

$P(X=0, Y=2) = \frac{_{3}P_{2}}{30} = \frac{3 \times 2}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$

* $P(X=1, Y=1)$: 1回目に青玉、2回目に赤玉、または1回目に赤玉、2回目に青玉を取り出す場合。

$P(X=1, Y=1) = \frac{3 \times 3 + 3 \times 3}{30} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$

* $P(X=2, Y=0)$: 2回とも青玉を取り出す場合。

$P(X=2, Y=0) = \frac{_{3}P_{2}}{30} = \frac{3 \times 2}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$

* $P(X=0, Y=1)$: 1回目に赤玉、2回目に青玉、または1回目に青玉、2回目に赤玉を取り出す場合を考える. ただし、2回目の赤玉は残り2つから、2回目の青玉は残り2つから選ぶことになる。

青、赤の順に取り出す確率は$\frac{3}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{30}$

赤、青の順に取り出す確率は$\frac{3}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{30}$

したがって$P(X=0, Y=1)$はありえない。この取り出し方だと、X=1, Y=1になる。

同様に$P(X=1, Y=0)$、 $P(X=0, Y=2)$なども同様に考えられる。

$X$と$Y$のとりうる値の組み合わせは以下のようになる。

(X, Y) = (0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2)

ただし、X+Y = 2なので、上記のすべてが存在するわけではない。

X+Y = 2となるのは、(0,2), (1,1), (2,0)のみ。

$P(X=0, Y=0)$、$P(X=0, Y=1)$、$P(X=1, Y=0)$、$P(X=1, Y=2)$、$P(X=2, Y=1)$、$P(X=2, Y=2)$の確率は0

次に、周辺分布を計算する。

$P(X=0) = P(X=0, Y=2) = \frac{1}{5}$

$P(X=1) = P(X=1, Y=1) = \frac{3}{5}$

$P(X=2) = P(X=2, Y=0) = \frac{1}{5}$

$P(Y=0) = P(X=2, Y=0) = \frac{1}{5}$

$P(Y=1) = P(X=1, Y=1) = \frac{3}{5}$

$P(Y=2) = P(X=0, Y=2) = \frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

| X/Y | 0 | 1 | 2 | 計 |

| :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |

| 0 | 0 | 0 | 1/5 | 1/5 |

| 1 | 0 | 3/5 | 0 | 3/5 |

| 2 | 1/5 | 0 | 0 | 1/5 |

| 計 | 1/5 | 3/5 | 1/5 | 1 |