(1) 2次方程式 $3x^2 - 2kx + k = 0$ が実数解を持たないような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。 (2) 2次不等式 $x^2 + 2mx + 6m - 5 > 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $3x^2 - 2kx + k = 0$ が実数解を持たないような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

(2) 2次不等式 $x^2 + 2mx + 6m - 5 > 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式が実数解を持たない条件は、判別式 $D$ が負であることです。判別式 $D$ は、

$D = b^2 - 4ac$

で与えられます。この問題の場合、$a = 3$, $b = -2k$, $c = k$ なので、

$D = (-2k)^2 - 4(3)(k) = 4k^2 - 12k$

$D < 0$ となる $k$ の範囲を求めます。

$4k^2 - 12k < 0$

$4k(k - 3) < 0$

$k(k - 3) < 0$

よって、$0 < k < 3$。

(2) 2次不等式 $x^2 + 2mx + 6m - 5 > 0$ の解がすべての実数である条件は、放物線 $y = x^2 + 2mx + 6m - 5$ が常に $x$ 軸より上にあることです。これは、2次方程式 $x^2 + 2mx + 6m - 5 = 0$ が実数解を持たないことと同値です。つまり、判別式 $D$ が負である必要があります。

$D = (2m)^2 - 4(1)(6m - 5) = 4m^2 - 24m + 20$

$D < 0$ となる $m$ の範囲を求めます。

$4m^2 - 24m + 20 < 0$

$m^2 - 6m + 5 < 0$

$(m - 1)(m - 5) < 0$

よって、$1 < m < 5$。

3. 最終的な答え

(1) $0 < k < 3$

(2) $1 < m < 5$